La classe laterale (in inglese coset) è un concetto matematico, utile nella teoria dei gruppi. Tramite questa nozione si definiscono i concetti di sottogruppo normale e di gruppo quoziente.
Definizione
Sia
un gruppo e sia
un suo sottogruppo e
. Nel seguito utilizziamo per l'operazione di gruppo la notazione
.[postille 1] La classe laterale destra (o più semplicemente il laterale destro) di
in
rappresentato da
è l'insieme:
![{\displaystyle Ha=\{b\in G\,|\,b=ha,h\in H\}=\{H\ni h=ba^{-1},b\in G\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8b643eb64baa8a44e197a398ec4a703685a74af)
cioè fissato un elemento
di
detto rappresentante della classe, si fa il prodotto
dove
è un qualsiasi elemento del sottogruppo
Oppure si prende l'elemento opposto di
e si fa il prodotto
con qualsiasi elemento
di
verificando di ottenere un elemento di
Simmetricamente si definisce la classe laterale sinistra (o laterale sinistro) di
in
rappresentato da
come l'insieme:
![{\displaystyle aH=\{b\in G\,|\,b=ah,h\in H\}=\{H\ni h=a^{-1}b,b\in G\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed75a44d2a46739ce319852ac60e53693133c59a)
Descrizione tramite classi di equivalenza
È possibile descrivere ogni classe laterale destra come una classe d'equivalenza rispetto alla relazione di equivalenza
definita in
ponendo per
:
![{\displaystyle a\sim _{H\cdot }b\Longleftrightarrow ba^{-1}\in H\Longleftrightarrow b\in Ha.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41bf7ed9e3fb2b3b9a16a01cd370d8b5fadea2f9)
La classe di equivalenza contenente l'elemento
è proprio
: infatti
, dove
è l'elemento neutro di
: quindi
perché
è un sottogruppo.
Anche ogni classe laterale sinistra può essere definita con una relazione di equivalenza analoga:
![{\displaystyle a\sim _{\cdot H}b\Longleftrightarrow a^{-1}b\in H\Longleftrightarrow b\in aH.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7074d155aefe881894914d909b5b7edffd95b73)
L'insieme quoziente destro o sinistro mediante la relazione di equivalenza, cioè l'insieme o collezione delle classi laterali distinte o disgiunte in cui è partizionato
si definisce come:
![{\displaystyle G/\sim _{\cdot H}:=\{xH\,|\,x\in G\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52bd28040273d192d54abb58dbdb2f18e69bcc18)
![{\displaystyle G/\sim _{H\cdot }:=\{Hx\,|\,x\in G\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9a23edefd475f4f3fcbc148700ab964498b4371)
dove l'elemento
è il rappresentante della classe laterale. Nel caso di un gruppo abeliano
si ha sempre
![{\displaystyle G/\sim _{\cdot H}=G/\sim _{H\cdot },\qquad \forall H\leq G,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2b3ff5da039a56e0bda84a0af1bf2bcc5e4a0e8)
cioè le partizioni destre e sinistre coincidono e quindi qualsiasi sottogruppo è sempre normale. Nel caso non abeliano si possono avere sottogruppi normali e non.
Proprietà
Osserviamo che, a causa delle due equivalenze
e
, sia i laterali sinistri che i destri del gruppo
sono sottoinsiemi mutuamente disgiunti del gruppo. Quindi le due applicazioni
![{\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{\cdot H}\colon H&\to xH\\h&\mapsto xh,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d98254d409b63e815e53c8efcd773eb0ee3aec2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{H\cdot }\colon H&\to Hx\\h&\mapsto hx,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b747ca1ca4a7ff8c76f5f0443becc01b40152a8c)
sono biunivoche. E si possono esprimere con l'unica biiezione naturale
![{\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{H}\colon xH&\to Hx\\xh&\mapsto hx^{-1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ca7cffd8dc3b774b0e833d977b0ab599dff5c2)
Per cui due qualsiasi classi laterali possono essere facilmente messe in corrispondenza biunivoca: da ciò deriva che esse hanno tutte la stessa cardinalità. Cioè in ogni gruppo le classi laterali sinistre sono tante quante le classi laterali destre: tale numero, sia esso finito o infinito, è detto indice del sottogruppo
nel gruppo
, e si denota con più simboli a seconda del testo utilizzato
![{\displaystyle i(H)=(G:H)=[G:H].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64d8ab91481c7e468223bf4e557c51c963169e6b)
In particolare, se
è finito e ha
elementi, ed
ha
elementi, si ha
: quindi la cardinalità di ogni sottogruppo
di un gruppo finito G e il suo indice
sono divisori della cardinalità di G (vedi teorema di Lagrange).
In generale le classi laterali sinistre e le classi laterali destre di un sottogruppo costituiscono due collezioni diverse; in altre parole le due equivalenze indotte sono diverse. Un sottogruppo
di
che definisce un'unica partizione, cioè tale che
per ogni
, si dice sottogruppo normale di
[postille 2]; in genere tale partizione è formata da
classi cioè dal valore dell'indice di
Quando un sottogruppo forma una partizione che consiste di solo due classi laterali sinistre o destre cioè l'indice del sottogruppo
diventa
allora
cioè è normale ma non vale il viceversa. In qualsiasi gruppo i due sottogruppi banali sono normali. La definizione data consente di passare dall'insieme quoziente alla definizione di gruppo quoziente i cui elementi sono le classi laterali sinistre o, indifferentemente, quelle destre[1]. Cioè:
![{\displaystyle G/\sim _{\cdot H}=G/\sim _{H\cdot }=G/N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73c27c4054938a558d26d43401265e3dc33dae6b)
e in tale gruppo abbiamo:
che equivale a
come legge di composizione interna associativa;
;
come elemento neutro;
come elemento inverso.
a cui viene associata una tabella di Cayley
.
- Casi particolari
- Casi particolari sono quelli dei sottogruppi impropri o banali. Sia
. In tal caso si ottiene ![{\displaystyle a_{i}H=\{a_{i}\}=Ha_{i},\quad i=1,2,\ldots ,|G|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0243597238119c6ba8a552fbcb6c7b1ea5b69800)
- quindi i laterali destri e sinistri sono uguali e contengono un solo elemento per cui
e il teorema di Lagrange diventa
. L'altro caso è
e si ottiene ![{\displaystyle a_{i}H=Ha_{i}=G,\quad i=1,2,\ldots ,|G|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5841f0cce203bb2b78c39a6e1acc6851577c1ff1)
- quindi i laterali destri e sinistri coincidono con una sola classe di equivalenza per cui
e il teorema di Lagrange diventa
.
- Se come elemento x rappresentativo della classe prendiamo l'elemento neutro di
si ha ![{\displaystyle eH=\{y\in G|e^{-1}y=ey=y\in H\}=H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69d733324a4e008999c3ca4338c8ce88008e0738)
![{\displaystyle He=\{y\in G|ye^{-1}=ye=y\in H\}=H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5707914edb63574d3b435cb7db3859f83ba207d1)
![{\displaystyle eH=H=He}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c66370487bb9d45257de63251fa7e5c17345d489)
- con
elemento neutro di
. Quindi il laterale destro e sinistro sono uguali e coincidenti con ![{\displaystyle H.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8933ae7244305ae7824aa18e077d1cf946e2ee9d)
Esempi
Gruppo simmetrico
Questo esempio considera un gruppo non abeliano di ordine finito. Il gruppo simmetrico
ha legge di composizione non commutativa
![{\displaystyle \alpha \circ \beta ={\begin{pmatrix}1&2&3\\\alpha (1)&\alpha (2)&\alpha (3)\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3\\\beta (1)&\beta (2)&\beta (3)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\\alpha (\beta (1))&\alpha (\beta (2))&\alpha (\beta (3))\end{pmatrix}}\neq \beta \circ \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/100368dbaafb4dcdd23ef64105ed5e568140854d)
elemento neutro ed opposto
cioè tutti gli elementi sono punti fissi.
occorre scambiare le righe nella notazione 2-linea.
Consideriamo i sottogruppi di
il cui ordine sono divisori dell'ordine del gruppo
per il teorema di Lagrange. Quindi i divisori possibili sono 1,2,3,6. Dalla teoria i divisori che sono numeri primi sono ordini di gruppi ciclici. Da una semplice analisi della tabella Cayley si ottengono:
- due sottogruppi normali banali
ed
di ordini 1 e 6, - il sottogruppo normale alternante
che è un gruppo ciclico di ordine 3 - tre sottogruppi delle riflessioni
,
e
che sono gruppi ciclici di ordine 2.
quindi sono sei sottogruppi di cui tre sono normali. Abbiamo utilizzato la notazione ciclica e i simboli dei gruppi ciclici di ordine 2 e 3. Vogliamo conoscere le loro classi laterali.
Iniziamo dal caso semplice dei due sottogruppi banali:
![{\displaystyle H=\{\mathrm {id} \},\qquad C_{3}^{3}\ H=H\ C_{3}^{3}=\{C_{3}^{3}\},\cdots ,\sigma ^{'''}\ H=H\ \sigma ^{'''}=\{\sigma ^{'''}\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/783aba8d84b70e823625c87686ca780ff9ccc31f)
quindi 6 classi laterali destro e sinistro coincidenti e l'indice diventa
![{\displaystyle H=S_{6},\qquad C_{3}^{3}\ H=H\ C_{3}^{3}=\cdots =\sigma ^{'''}\ H=H\ \sigma ^{'''}=S_{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b622cf17a43422b013c4f881acf782b62109ec)
quindi una sola classe laterale destra e sinistra coincidente e l'indice diventa
![{\displaystyle H=T_{2}^{'}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d78c7031197f47d6075e38adcd331b3bef4b1fde)
Utilizziamo la tabella Cayley del gruppo (con la convenzione che il primo fattore è quello della riga) e la tabella seguente dove fissiamo un elemento
per
, in questo caso
e quindi
e poi lo componiamo con qualsiasi elemento
per
. Per quei prodotti che stanno in H troviamo gli
. Stessa procedura per trovare gli
.
Classe laterale sinistra ![{\displaystyle x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158) | ![{\displaystyle x_{i}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7d871c027bff82b71ab2e873a14010b185a7690) | ![{\displaystyle x_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2b88c64c76a03611549fb9b4cf4ed060b56002) | |
![{\displaystyle C_{3}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbfaaa6beb2682012ebfe1523b2019e5af651cfe) | ![{\displaystyle C_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e9abeb5057b7afbf88e3169101849354f13c65) | ![{\displaystyle C_{3}^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094c44220b97596fa842ed4085c326c3dfcd6af6) | |
| | ![{\displaystyle C_{3}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbfaaa6beb2682012ebfe1523b2019e5af651cfe) | |
| | ![{\displaystyle C_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e9abeb5057b7afbf88e3169101849354f13c65) | |
| | ![{\displaystyle \sigma ^{'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c5b34b9a9db75785957bb3a47fdc5bb438966f) | |
| | ![{\displaystyle \sigma ^{''}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d94d71a1f6617321ba67614d0d5d239ad069a9) | |
| | ![{\displaystyle \sigma ^{'''}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2991fb845ec324700281f619c94939cba49e19f) | |
Classe laterale destra ![{\displaystyle x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158) | ![{\displaystyle x_{i}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7d871c027bff82b71ab2e873a14010b185a7690) | ![{\displaystyle x_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2b88c64c76a03611549fb9b4cf4ed060b56002) | |
![{\displaystyle C_{3}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbfaaa6beb2682012ebfe1523b2019e5af651cfe) | ![{\displaystyle C_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e9abeb5057b7afbf88e3169101849354f13c65) | ![{\displaystyle C_{3}^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094c44220b97596fa842ed4085c326c3dfcd6af6) | |
| | ![{\displaystyle C_{3}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbfaaa6beb2682012ebfe1523b2019e5af651cfe) | |
| | ![{\displaystyle C_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e9abeb5057b7afbf88e3169101849354f13c65) | |
| | ![{\displaystyle \sigma ^{'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c5b34b9a9db75785957bb3a47fdc5bb438966f) | |
| | ![{\displaystyle \sigma ^{''}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d94d71a1f6617321ba67614d0d5d239ad069a9) | |
| | ![{\displaystyle \sigma ^{'''}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2991fb845ec324700281f619c94939cba49e19f) | |
abbiamo ottenuto
per il coset sinistro e
per quello destro.
Con questo modo di operare si ottengono i seguenti risultati:
![{\displaystyle \sigma ^{'}H=C_{3}^{3}H=H\sigma ^{'}=HC_{3}^{3}=T_{2}^{'},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f2c266f609736f64f58459a4beec9c0e8e0ded5)
![{\displaystyle \sigma ^{''}H=C_{3}H=\{C_{3},\sigma ^{''}\}\neq \{C_{3}^{2},\sigma ^{''}\}=H\sigma ^{''}=HC_{3}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f74ed97ac0629ad5a486734831b2834f9f28ac)
![{\displaystyle \sigma ^{'''}H=C_{3}^{2}H=\{C_{3}^{2},\sigma ^{'''}\}\neq \{C_{3},\sigma ^{'''}\}=H\sigma ^{'''}=HC_{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e390f93ab79379afc1c6d6aab87d448874ede1)
e si può notare che due laterali destri o sinistri possono coincidere ma solo nel caso dell'elemento neutro le classi destra e sinistra coincidono. Comunque le classi sinistre diverse sono tre quanto quelle destre e sono disgiunte. Per cui l'indice di
in
ha valore
Stesso metodo si applica ai restanti sottogruppi, ottenendo il risultato:
Classi laterali dei sottogruppi di
![{\displaystyle |H|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31c3c97e64ad558dcc09e9ff232ee0f4d447bac1) | ![{\displaystyle H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b) | ![{\displaystyle G/\sim _{\cdot H}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4ec11eeb43f55c0d5b0b8d81b804fb6d2b8fdd) | ![{\displaystyle G/\sim _{H\cdot }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a36f6224ff1acddf9b3c7b4a4bd43258a72bed1e) | |
1 | [postille 3] | ![{\displaystyle C_{3}^{3}\ H=\{C_{3}^{3}\},\cdots ,\sigma ^{'''}\ H=\{\sigma ^{'''}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7887cfbc2a407c21eec9ad96bff1948884fe9147) | ![{\displaystyle H\ C_{3}^{3}=\{C_{3}^{3}\},\cdots ,H\ \sigma ^{'''}=\{\sigma ^{'''}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2894555ae2ce3b163e313db29f593c4de874a9aa) | 6 |
2 | ![{\displaystyle T_{2}^{'}=\{C_{3}^{3},\sigma _{'}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8d1236f74298a23bb592dc10915d45f8db07f4) | ![{\displaystyle {\begin{matrix}\sigma ^{'}H=C_{3}^{3}H=&T_{2}^{'}\\\sigma ^{''}H=C_{3}H=&\{C_{3},\sigma ^{''}\}\\\sigma ^{'''}H=C_{3}^{2}H=&\{C_{3}^{2},\sigma ^{'''}\}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0602bd65875880a4d6776917dd1506598b0ca0e0) | ![{\displaystyle {\begin{matrix}H\sigma ^{'}=HC_{3}^{3}=&T_{2}^{'}\\H\sigma ^{''}=HC_{3}^{2}=&\{C_{3}^{2},\sigma ^{''}\}\\H\sigma ^{'''}=HC_{3}=&\{C_{3},\sigma ^{'''}\}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd3cbbf1b9ba87dc612884570276c91f1a146587) | 3 |
2 | ![{\displaystyle T_{2}^{''}=\{C_{3}^{3},\sigma _{''}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/053fc79330cb0397440c7a6830b60b699a63041b) | ![{\displaystyle {\begin{matrix}\sigma ^{''}H=C_{3}^{3}H=&T_{2}^{''}\\\sigma ^{'}H=C_{3}^{2}H=&\{C_{3}^{2},\sigma ^{'}\}\\\sigma ^{'''}H=C_{3}H=&\{C_{3},\sigma ^{'''}\}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a0be9600d2eded4e34fbd901563846b5432129) | ![{\displaystyle {\begin{matrix}HC_{3}^{3}=H\sigma ^{''}=&T_{2}^{''}\\HC_{3}^{2}=H\sigma ^{'''}=&\{C_{3}^{2},\sigma ^{'''}\}\\HC_{3}=H\sigma ^{'}=&\{C_{3},\sigma ^{'}\}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4323de3d8f498fdf88fa975b97726a607029a76) | 3 |
2 | ![{\displaystyle T_{2}^{'''}=\{C_{3}^{3},\sigma _{'''}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/966c5b11eddf6d202fea805d431a89d736fcfd55) | ![{\displaystyle {\begin{matrix}\sigma ^{'''}H=C_{3}^{3}H=&T_{2}^{'''}\\\sigma ^{''}H=C_{3}^{2}H=&\{C_{3}^{2},\sigma ^{''}\}\\\sigma ^{'}H=C_{3}H=&\{C_{3},\sigma ^{'}\}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/499a7a5aeba161f13005d535b1e51790b17ccb9b) | ![{\displaystyle {\begin{matrix}HC_{3}^{3}=H\sigma ^{'''}=&T_{2}^{'''}\\HC_{3}^{2}=H\sigma ^{''}=&\{C_{3},\sigma ^{''}\}\\HC_{3}=H\sigma ^{'}=&\{C_{3}^{2},\sigma ^{'}\}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69307e956dd9fb0ebb87c690522e69d993112b7f) | 3 |
3 | [postille 3] | ![{\displaystyle {\begin{matrix}C_{3}^{3}H=C_{3}^{2}H=C_{3}H=&A_{3}\\\sigma ^{'}H=\sigma ^{''}H=\sigma ^{'''}H=&\{\sigma ^{'},\sigma ^{''},\sigma ^{'''}\}\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb175a516ab3b68fddb05b289ba8c40bb2c6ffb8) | ![{\displaystyle {\begin{matrix}HC_{3}=HC_{3}^{2}=HC_{3}^{3}=&A_{3}\\H\sigma ^{'}=H\sigma ^{''}=H\sigma ^{'''}=&\{\sigma ^{'},\sigma ^{''},\sigma ^{'''}\}\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c1c87440c02d3f7058a2db0199f9e268755685) | 2 |
6 | [postille 3] | ![{\displaystyle C_{3}^{3}\ H=\cdots =\sigma ^{'''}\ H=S_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aab96f94e0cb7d43591d25902dea083607e0b47b) | ![{\displaystyle H\ C_{3}^{3}=\cdots =H\ \sigma ^{'''}=S_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a029bed831c0afb3a891ea94060f84168c48efd) | 1 |
Gruppo additivo
Adesso gli esempi vengono fatti su gruppi infiniti dove l'indice del sottogruppo ha valore finito. Sia
il gruppo additivo degli interi
![{\displaystyle G=\mathbb {Z} =(\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \},+),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12cf17dcb8cd232fa6a7d362dc07705334f8d8d3)
cioè del gruppo interi relativi con la legge di composizione l'usuale addizione. Quindi abbiamo
come elemento neutro;
come elemento opposto rispetto alla legge composizione;
per ogni
cioè un gruppo abeliano.
Consideriamo come sottogruppo
![{\displaystyle H=(3\mathbb {Z} ,+)=(\{\ldots ,-6,-3,0,3,6,\ldots \},+).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f33800f66e9fa7ff800c679beadcc6f18f2e83bf)
Allora le classi laterali destre o cosets di
in
sono i tre insiemi
![{\displaystyle G/\sim _{H\cdot }=\{H+0,\ H+1,\ H+2\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5414551fbd455e550768e115e2bf01214b3cded)
dove abbiamo utilizzato la notazione per la classe laterale destra
![{\displaystyle H+x=\{\ldots ,-6+x,\ -3+x,\ x,\ 3+x,\ 6+x,\ldots \},\qquad x=0,1,2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c45ecbf32decb632635630fdc0174ac1a20fb881)
con
il rappresentante della classe.
Questi tre insiemi suddividono (o creano una partizione) l'insieme
quindi non ci sono altri laterali destri di
Essendo l'addizione commutativa si ha pure:
![{\displaystyle H+x=x+H,\qquad x=0,1,2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74ca8095deea65566e459eb3bcf1c0ce7a5aa0ec)
Cioè, ogni laterale sinistro di
è anche un laterale destro, e l'indice di
in
è semplicemente
![{\displaystyle |G/\sim _{\cdot H}|=|G/\sim _{H\cdot }|=[G:H]=3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a378cd27a0e245abcdb7bd7fdb94545591751f5f)
Quindi
cioè un sottogruppo normale con indice 3.[2] (La stessa citazione mostra che ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale.[3])
Generalizzando, sia
sempre il gruppo additivo degli interi, e consideriamo il generico sottogruppo
![{\displaystyle H=(n\mathbb {Z} ,+)=(\{\ldots ,-2n,-n,0,n,2n,\ldots \},+),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4c47eb3f8c9635f43c54164002b74e8a631630d)
dove
è un intero positivo. Allora i laterali destro e sinistro di
in
sono gli
insiemi (cioè l'indice di
in
è
)
![{\displaystyle G/\sim _{H\cdot }=\{n\mathbb {Z} +0,n\mathbb {Z} +1,\ldots ,n\mathbb {Z} +(n-1)\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a77b364648e721afb9a3b79f43c3ffb4cba837)
![{\displaystyle G/\sim _{\cdot H}=\{0+n\mathbb {Z} ,1+n\mathbb {Z} ,\ldots ,(n-1)+n\mathbb {Z} \},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37cd3a15ef8a77758c9247310d948509afcdce68)
che sono coincidenti essendo
un gruppo abeliano. Una generica classe laterale destra con rappresentante
è un insieme del tipo:
![{\displaystyle n\mathbb {Z} +x=\{\ldots ,-2n+x,-n+x,x,n+x,2n+x,\ldots \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65cde94e4eeec6b5c4e037366b06fea34ee91b39)
Non ci sono più di
cosets destro e sinistro, infatti
Le classe laterale del sottogruppo normale
forma un sottogruppo
![{\displaystyle (n\mathbb {Z} +x,+)=(x+n\mathbb {Z} ,+)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/102f98ec1a93c3c19f88f439962149788339ca47)
e viene detta classe di congruenza di
modulo
[4] Il sottogruppo
è normale nel gruppo
e quindi, ha senso formare il gruppo quoziente
![{\displaystyle G/H=G/N=\mathbb {Z} /(n\mathbb {Z} )=\{n\mathbb {Z} +x=x+n\mathbb {Z} |x\in \mathbb {Z} \},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a8a03aba22e47dcd297a5b3f1d557505a56253d)
detto gruppo additivo degli interi modulo
a cui viene associata una tabella Cayley
Spazi vettoriali
Un altro esempio di classi laterali viene dalla teoria degli spazi vettoriali dove l'indice del sottogruppo ha valore infinito. Sia
un gruppo coincidente con uno spazio vettoriale
. Gli elementi (vettori) di uno spazio vettoriale formano un gruppo abeliano con legge di composizione l'usuale addizione vettoriale. Quindi abbiamo
il vettore nullo come elemento neutro;
come elemento opposto rispetto alla legge composizione;
cioè
è un gruppo abeliano.
I sottospazi di uno spazio vettoriale sono i sottogruppi di questo gruppo. Nello spazio
tali sottospazi, dovendo contenere l'elemento neutro
sono rette e piani passanti per l'origine
del sistema di riferimento. Fissiamo allora un sottospazio
e un vettore
di
, consideriamo le classi laterali di tale elemento fissato:
![{\displaystyle x+W=\{\mathbf {v} \in V\mid \mathbf {v} =\mathbf {x} +\mathbf {w} ,\mathbf {w} \in W\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1042682e4421d905ed5531d13491bfa1a0c578ea)
dove
è il rappresentante della classe. Queste classi formano una partizione di
, cioè sono digiunti:
![{\displaystyle (x+W)\cap (y+W)=\varnothing ,\quad \forall x,y\in V,x\neq y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97bc7cd0b69b29ac0376ebce34ff2053ff1ac427)
Tali classi laterali sono detti sottospazi affini di
paralleli a
, e i laterali destri
e sinistri
coincidono essendo il gruppo abeliano, cioè
. Quindi
è un sottogruppo normale ed ammette in questo caso:
![{\displaystyle |G/\sim _{\cdot H}|=|G/\sim _{H\cdot }|=[G:H]=\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6bdcecaae4410dca445a71b30e633c2a2533c6c)
Allora definiamo lo spazio vettoriale quoziente (gruppo quoziente) come l'insieme di tutti questi sottospazi affini
![{\displaystyle G/\sim _{\cdot H}=G/\sim _{H\cdot }=V/W=\{x+W|x\in V\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ae1ebff541f89b311804bdea637ec3411e01ec4)
In
questi sottospazi affini sono tutte le rette o piani paralleli al sottospazio con il vettore nullo
, che sappiamo rappresentare una retta o un piano passante per l'origine. Ad esempio, consideriamo il piano
. Se
denota una retta passante per l'origine
allora
è un sottogruppo del gruppo abeliano
. Se
è un punto di
, allora la classe laterale
![{\displaystyle P+r=r+P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57e13c547599ac1065125fa1834dd661a11c5081)
indica il sottospazio rappresentato da una retta
parallela a
e passante per il punto
[5]
Gruppo generale lineare
Con
oppure con
si indica il gruppo delle matrici sopra un campo
che sono invertibili. Questo esempio è preso dal gruppo generale lineare
. Ricordiamo che tale gruppo ha come legge di composizione interna l'usuale moltiplicazione riga per colonna di matrici
![{\displaystyle g_{1}g_{2}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a^{'}&b^{'}\\c^{'}&d^{'}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}aa^{'}+bc^{'}&ab^{'}+bd^{'}\\ca^{'}+dc^{'}&cb^{'}+dd^{'}\end{pmatrix}}\neq g_{2}g_{1},\quad \forall g_{1}\ g_{2}\in G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6978bbd32c4828339673b3ae526b8e8c2ce8a21)
quindi un gruppo non abeliano e faremo vedere che ci sono sottogruppi normali e non. Tale gruppo ammette elemento neutro ed elemento inverso
![{\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\qquad A^{-1}={\frac {1}{|A|}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39e56945055429a8d6dd6656de1a6193615425d5)
Prendiamo come
il particolare gruppo moltiplicativo delle matrici a due parametri (abbiamo due parametri noti
),[6]
![{\displaystyle G=\left\{g\in G|{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}\colon a,c\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcde0d0404db59df9bc34082214b5877141edd91)
e consideriamo come sottogruppo
di
ad un parametro (abbiamo tre parametri noti
come prima e
):
![{\displaystyle H=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\c^{'}&1\end{pmatrix}}\colon c^{'}\in \mathbb {R} \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d46fec8c007e5e78e7bfbe5f11ebacb4865a36dd)
Fissiamo una matrice
da
e vogliamo trovare la generica classe laterale sinistra rispetto H essendo che non sono in numero finito come nel caso del gruppo S3, cioè:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}H=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\c^{'}&1\end{pmatrix}}\colon c^{'}\in \mathbb {R} \right\}=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\c+c^{'}&1\end{pmatrix}}\colon c^{'}\in \mathbb {R} \right\}=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\c^{''}&1\end{pmatrix}}\colon c^{''}\in \mathbb {R} \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b409b629f912219f41f9bbd922b0a3c603b7b22f)
mentre la generica classe laterale destra
![{\displaystyle H{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\c^{'}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}\colon c^{'}\in \mathbb {R} \right\}=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\c+ac^{'}&1\end{pmatrix}}\colon c^{'}\in \mathbb {R} \right\}=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\c^{''}&1\end{pmatrix}}\colon c^{''}\in \mathbb {R} \right\}={\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}H.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7564bb20e8aeed134dff77531a7a1ef5d68bca2c)
Cioè le classi laterali sinistre sono costituite da tutte le matrici di
che hanno lo stesso elemento in alto a sinistra come le classi laterali destre. Quindi il sottogruppo
è normale in
mentre se consideriamo il sottogruppo
![{\displaystyle K=\left\{{\begin{pmatrix}a^{'}&0\\0&1\end{pmatrix}}\colon a^{'}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0ecdcfd330f026170a7dea943b4d8e049961165)
essendo
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}K=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a^{'}&0\\0&1\end{pmatrix}}\colon a^{'}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}aa^{'}&0\\ca^{'}&1\end{pmatrix}}\colon a^{'}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}a^{''}&0\\c^{''}&1\end{pmatrix}}\colon a^{''},c^{''}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95a241fa703a85548fd8b4559c6b590178f0f013)
![{\displaystyle K{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}=\left\{{\begin{pmatrix}a^{'}&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}\colon a^{'}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}aa^{'}&0\\c&1\end{pmatrix}}\colon a^{'}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}a^{''}&0\\c&1\end{pmatrix}}\colon a^{''}\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7026e53ad9f33fa49a32fedbf93110211bef81a)
ne concludiamo che le classi sinistre hanno due parametri variabili (
), mentre quelle destre hanno un parametroo variabile (
) e quindi
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}}K\neq K{\begin{pmatrix}a&0\\c&1\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d78b448d35122ff6933adf86c53bddadf0d107)
cioè
è non normale in
Azione di gruppo e orbita
Un sottogruppo
di un gruppo
si utilizza per definire l'azione di
su
in due modi naturali. L'azione destra,
![{\displaystyle {\begin{aligned}G\times H&\to G\\(g,h)&\mapsto gh\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d400dcc78a57184d0485a2d1db4222b084dcb81)
e l'azione sinistra,
![{\displaystyle {\begin{aligned}H\times G&\to G\\(h,g)&\mapsto hg.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a875b7f064a32b7a654c2f07b813638f4d9ed65)
L'orbita dell'elemento
sotto l'azione destra coincide con la classe laterale sinistro
, mentre l'orbita sotto l'azione sinistra è il laterale destro
[7].
Note
- Postille
- ^ Un'altra notazione è
e si hanno le scritture equivalenti ![{\displaystyle H+a=\{b\in G\,|\,b=h+a,h\in H\}=\{H\ni h=b+(-a),b\in G\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c5934f88f7f7b748560d890a2a868b953ad635)
![{\displaystyle a+H=\{b\in G\,|\,b=a+h,h\in H\}=\{H\ni h=(-a)+b,b\in G\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd010cc9b3b42af98bac0ac57523b59bfeb3b252)
- ^ Ricordiamo la notazione:
per indicare che
è un sottogruppo improprio o banale di
;
per indicare che
è un sottogruppo proprio di
;
oppure
per indicare che
è un sottogruppo normale di
.
- ^ a b c Quando
s'intendono che sono sottogruppi normali.
- Fonti
Bibliografia
- (IT) Israel Nathan Herstein, Algebra, Editori Riuniti University Press, 2010, ISBN 978-88-6473-210-7, OCLC 956260268. URL consultato il 13 ottobre 2022.
- (IT) Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, 1997, ISBN 88-339-5586-9, OCLC 797301581. URL consultato il 13 ottobre 2022.
- (EN) Serge Lang, Algebra, Revised Third Edition, 2002, ISBN 0-387-95385-X, OCLC 48176673. URL consultato il 13 ottobre 2022.
- (EN) Humphreys, J.F., 7. Normal subgroups and quotient groups, in A Course in Group Theory, 1ª ed., OUP, 1996, ISBN 9780198534594.
- (EN) John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, 5ª ed., Addison-Wesley, 1994, ISBN 978-0-201-53467-2.
- (EN) K. D. Joshi, §5.2 Cosets of Subgroups, in Foundations of Discrete Mathematics, New Age International, 1989, ISBN 81-224-0120-1.
- (EN) Joseph J. Rotman, A First Course in Abstract Algebra with Applications, 3ª ed., Prentice-Hall, 2006, ISBN 978-0-13-186267-8.
- (EN) David M. Burton, Abstract Algebra, Wm. C. Brown Publishers, 1988, ISBN 0-697-06761-0.
- (EN) Nathan Jacobson, Basic Algebra I, 2ª ed., Dover, 2009, ISBN 978-0-486-47189-1.
Collegamenti esterni
- Classe laterale, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
![Modifica su Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)
- (EN) Eric W. Weisstein, Coset, su MathWorld, Wolfram Research.
![Modifica su Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)
- (EN) Coset in a group, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
![Modifica su Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)
- Coset, in groupprops, The Group Properties Wiki.
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