Tangente hyperbolique réciproque

La tangente hyperbolique réciproque est, en mathématiques, une fonction hyperbolique. C'est la réciproque de la fonction tangente hyperbolique.

Définition

La fonction tangente hyperbolique réciproque, ou argument tangente hyperbolique^[1], notée artanh^[2] (ou argth), ${\displaystyle \operatorname {artanh} :\left]-1,+1\right[\to \mathbb {R} }$ est définie à l'aide de la tangente hyperbolique par : ${\displaystyle y=\operatorname {artanh} x\quad \Longleftrightarrow \quad x=\tanh y\ \mathrm {et} \ |y|<1}$.

Propriétés

Cette fonction est bijective, impaire et son image est ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Elle est continue, strictement croissante, concave sur ${\displaystyle \left]-1,0\right[}$ et convexe sur ${\displaystyle \left]0,+1\right[}$.

Sa valeur en 0 est 0 et sa limite en 1 est +∞.

Elle est dérivable sur ${\displaystyle \left]-1,1\right[}$ et sa dérivée est donnée par ${\displaystyle \forall |x|<1\quad \operatorname {artanh} 'x={\frac {1}{1-x^{2}}}}$.

Par conséquent^[3], la fonction artanh s'exprime à l'aide du logarithme népérien par^[4] ${\displaystyle \forall |x|<1\quad \operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}$.

Tangente hyperbolique réciproque complexe : Voir à Détermination_d'une_fonction_multivaluée#Argument_tangente_hyperbolique_complexe.

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Inverse Hyperbolic Tangent », sur MathWorld

Notes et références

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