Sinus intégral

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Ne pas confondre avec la fonction sinus cardinal.

La fonction sinus intégral, notée Si, est une fonction spéciale de la physique mathématique introduite par Fresnel dans l'étude des vibrations lumineuses, est définie pour tout réel x par l'intégrale :

${\displaystyle \operatorname {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin(t)}{t}}~\mathrm {d} t}$

où la fonction sin est la fonction sinus.

Historique

Cette fonction a été utilisée par Oscar Xavier Schlömilch (pour représenter certaines intégrales définies) avec la notation moderne Si(x) dès 1846^[1]. Une première tabulation de cette fonction (pour x = 1,…, 10), due à Carl Anton Bretschneider, a été republiée par Schlömilch en 1848^[2]. Jean Denis Fenolio a publié en 1857 un mémoire^[3] suggérant plusieurs formules pour le calcul numérique de la fonction Si(x). Davide Besso (ru) a publié en 1868^[4] une table de valeurs de Si(x) pour x multiple entier de π. Une tabulation plus précise que celles de Bretschneider et Besso a été publiée en 1870 par J. W. L. Glaisher^[5], qui donne aussi un historique de l'utilisation de cette fonction dans la littérature mathématique. Des tables détaillées des fonctions cosinus intégral, exponentielle intégrale et sinus intégral ont été publiées en 1940 par la Federal Works Agency (en), sous la direction d'Arnold D. Lowan^[6]. L'introduction du volume 1 de ces tables contient (p. 26) une bibliographie des applications de ces fonctions en physique et en ingénierie.

Propriétés

• La fonction est continue, infiniment dérivable sur ℝ, et ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\ \mathrm {Si} '(x)={\frac {\sin(x)}{x}}=\mathrm {sinc} (x)}$ où ${\displaystyle \mathrm {sinc} }$ est la fonction sinus cardinal.
• La fonction Si est développable en série entière sur ℝ, et on a ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\ \mathrm {Si} (x)=\sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!(2n+1)}}.}$ Ce développement permet d'étendre la fonction Si en une fonction entière.
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\mathrm {Si} (x)=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(t)}{t}}~\mathrm {d} t={\frac {\pi }{2}}}$ . Il s'agit de l'intégrale de Dirichlet.
• Une formule intéressante : ${\displaystyle \pi \int _{1}^{n}{{n \choose x}~\mathrm {d} x}={\sum _{k=1}^{n}{{n+1 \choose k+1}\mathrm {Si} (k\pi )}}-\mathrm {Si} (\pi ),~{\text{avec}}~{n \choose x}={\frac {n!}{\Gamma (x+1)\Gamma (n-x+1)}}}$ (coefficient binomial généralisé).

Références

Voir aussi

Articles connexes

• Intégrale trigonométrique
• Cosinus intégral
• Exponentielle intégrale
• Logarithme intégral

Bibliographie

• (en) Eugen Jahnke et Fritz Emde (de), Tables of higher functions, McGraw Hill, 1960, p. 18
• (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne)

Liens externes

• (en) Sine Integral dans functions.wolfram.com
• (en) Eric W. Weisstein, « Sine integral », sur MathWorld
• (en) N. M. Temme, « Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals » dans dlmf.nist.gov
• (en) « The Special Function Si(x) », dans le Dynamic Dictionary of Mathematical Functions

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