Cotangente

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques et la géométrie.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Pour les articles homonymes, voir Cot.

La cotangente, de symbole usuel cot ou cotan (autrefois cotg), est une fonction trigonométrique.

Définition

Géométriquement, dans un triangle rectangle ABC d'hypoténuse AB :

${\displaystyle \cot {\hat {A}}=\mathrm {\frac {AC}{BC}} }$

En trigonométrie :

${\displaystyle \cot \theta ={\cos \theta \over \sin \theta }={1 \over \tan \theta }}$

Propriétés

La fonction cotangente vérifie l'égalité :

${\displaystyle 1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x}$

Dérivée

La dérivée de la cotangente est :

${\displaystyle \cot 'x=-\csc ^{2}x}$

Primitive

La primitive de la cotangente est :

${\displaystyle \int \cot x\,\mathrm {d} x=\ln(\sin x)+C}$

Développement en série

On a le développement en série de Laurent, où B_k désigne le k^e nombre de Bernoulli

${\displaystyle \cot x=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}}$

mais aussi

${\displaystyle \pi \cot(\pi x)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}}}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{x+n}}}$

dont on déduit

${\displaystyle \cot(x)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}\pi ^{2}}}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{x+n\pi }}}$

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Cotangent », sur MathWorld

• Portail des mathématiques