Argument hyperbolického sekans

Graf funkce argument hyperbolického sekans

Argument hyperbolického sekans je hyperbolometrická funkce. Značí se arsech ⁡ x {\displaystyle \operatorname {arsech} x} .

Definice

Argument hyperbolického sekans je definován jako funkce inverzní k hyperbolickému sekans definovanému na množině kladných reálných čísel. Platí arsech ⁡ x = ln ⁡ ( 1 x + 1 x 2 − 1 ) = ln ⁡ ( 1 + 1 − x 2 x ) {\displaystyle \operatorname {arsech} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)} .

Vlastnosti

( 0 , 1 ⟩ {\displaystyle (0,1\rangle }
  • Obor hodnot funkce
⟨ 0 , ∞ ) {\displaystyle \langle 0,\infty )}
  • Argument hyperbolického sekans není sudá ani lichá funkce.
  • Inverzní funkcí k argumentu hyperbolického sekans je sech ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {sech} (x)} .
  • Derivace:
d d x arsech x = − 1 x 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} \,x={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
  • Neurčitý integrál:
∫ arsech x d x = x arsech x + 2 arcsin ⁡ x + 1 2 + C {\displaystyle \int \operatorname {arsech} \,x\mathrm {d} x=x\operatorname {arsech} \,x+2\arcsin {\sqrt {\frac {x+1}{2}}}+C} , kde C {\displaystyle C} je integrační konstanta.

lim x → 0 + arsech x = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\operatorname {arsech} \,x=\infty }