Hyperbolometrická funkce

Hyperbolometrické funkce jsou funkce inverzní k funkcím hyperbolickým. Jedná se o funkce argument hyperbolického sinu (argsinh x), argument hyperbolického kosinu (argcosh x), argument hyperbolického tangens (argtanh x) a argument hyperbolického kotangens (argcoth x).

Argument hyperbolického sinu (argsinh x)

Funkce y = arg ⁡ sinh ⁡ x {\displaystyle y=\arg \sinh x}

Definiční obor

x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} }

Obor hodnot

y ∈ R {\displaystyle y\in \mathbb {R} }

Parita

Lichá (inverzní funkce k liché funkci je lichá funkce)

Identita

arg ⁡ sinh ⁡ x = ln ⁡ ( x + x 2 + 1 ) {\displaystyle \arg \sinh x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})}

Argument hyperbolického kosinu (argcosh x)

Funkce y = arg ⁡ cosh ⁡ x {\displaystyle y=\arg \cosh x}

Definiční obor

1 ≤ x < ∞ {\displaystyle 1\leq x<\infty }

Obor hodnot

0 ≤ y < ∞ {\displaystyle 0\leq y<\infty }

Parita

Ani lichá ani sudá

Identita

arg ⁡ cosh ⁡ x = ln ⁡ ( x + x 2 − 1 ) {\displaystyle \arg \cosh x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}

Argument hyperbolického tangens (argtanh x)

Funkce y = arg ⁡ tanh ⁡ x {\displaystyle y=\arg \tanh x}

Definiční obor

− 1 < x < 1 {\displaystyle -1<x<1} resp. | x | < 1 {\displaystyle |x|<1}

Obor hodnot

y ∈ R {\displaystyle y\in \mathbb {R} }

Parita

Lichá (inverzní funkce k liché funkci je lichá funkce)

Identita

arg ⁡ tanh ⁡ x = 1 2 ln ⁡ 1 + x 1 − x {\displaystyle \arg \tanh x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}}

Argument hyperbolického kotangens (argcoth x)

Funkce y = arg ⁡ coth ⁡ x {\displaystyle y=\arg \coth x}

Definiční obor

| x | > 1 {\displaystyle |x|>1}

Obor hodnot

y = R − { 0 } {\displaystyle y=\mathbb {R} -\{0\}}

Parita

Lichá (inverzní funkce k liché funkci je lichá funkce)

Identita

arg ⁡ coth ⁡ x = 1 2 ln ⁡ x + 1 x − 1 {\displaystyle \arg \coth x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}}

Identity

arg ⁡ sinh ⁡ x {\displaystyle \arg \sinh x} = arg ⁡ cosh ⁡ x 2 + 1               ( x ≥ 0 ) {\displaystyle =\arg \cosh {\sqrt {x^{2}+1}}\ \ \ \ \ \ \ (x\geq 0)}
= − arg ⁡ cosh ⁡ x 2 + 1           ( x < 0 ) {\displaystyle =-\arg \cosh {\sqrt {x^{2}+1}}\ \ \ \ \ (x<0)}
= arg ⁡ tanh ⁡ x x 2 + 1 {\displaystyle =\arg \tanh {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}

arg ⁡ cosh ⁡ x = arg ⁡ sinh ⁡ x 2 − 1 = arg ⁡ tanh ⁡ x 2 − 1 x           ( x ≥ 0 ) {\displaystyle \arg \cosh x=\arg \sinh {\sqrt {x^{2}-1}}=\arg \tanh {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\ \ \ \ \ (x\geq 0)}

arg ⁡ tanh ⁡ x = sinh ⁡ x 1 − x 2           ( x ≥ 0 ) {\displaystyle \arg \tanh x=\sinh {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ \ \ \ \ (x\geq 0)}

arg ⁡ tanh ⁡ x {\displaystyle \arg \tanh x} = arg ⁡ sinh ⁡ x 1 − x 2               ( | x | < 1 ) {\displaystyle =\arg \sinh {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ \ \ \ \ \ \ (|x|<1)}
= arg ⁡ cosh ⁡ 1 1 − x 2           ( 0 ≤ x < 1 ) {\displaystyle =\arg \cosh {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ \ \ \ \ (0\leq x<1)}
= − arg ⁡ cosh ⁡ 1 1 − x 2           ( − 1 < x ≤ 0 ) {\displaystyle =-\arg \cosh {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ \ \ \ \ (-1<x\leq 0)}
= arg ⁡ coth ⁡ 1 x           ( − 1 < x < 1 , x ≠ 0 ) {\displaystyle =\arg \coth {\frac {1}{x}}\ \ \ \ \ (-1<x<1,x\not =0)}
arg ⁡ coth ⁡ x {\displaystyle \arg \coth x} = arg ⁡ sinh ⁡ 1 x 2 − 1           ( x > 1 ) {\displaystyle =\arg \sinh {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\ \ \ \ \ (x>1)}
= − arg ⁡ sinh ⁡ 1 x 2 − 1           ( x < − 1 ) {\displaystyle =-\arg \sinh {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\ \ \ \ \ (x<-1)}
= arg ⁡ cosh ⁡ x x 2 − 1           ( x > 1 ) {\displaystyle =\arg \cosh {\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}\ \ \ \ \ (x>1)}
= arg ⁡ tanh ⁡ 1 x           ( | x | > 1 ) {\displaystyle =\arg \tanh {\frac {1}{x}}\ \ \ \ \ (|x|>1)}

arg ⁡ sinh ⁡ x ± arg ⁡ sinh ⁡ y = arg ⁡ sinh ⁡ ( x 1 + y 2 ± y 1 + x 2 ) {\displaystyle \arg \sinh x\pm \arg \sinh y=\arg \sinh(x{\sqrt {1+y^{2}}}\pm y{\sqrt {1+x^{2}}})}

arg ⁡ cosh ⁡ x ± arg ⁡ cosh ⁡ y = arg ⁡ cosh ⁡ ( x y ± ( 1 + x 2 ) ( y 2 − 1 ) )           ( x ≥ 1 , y ≥ 1 ) {\displaystyle \arg \cosh x\pm \arg \cosh y=\arg \cosh(xy\pm {\sqrt {(1+x^{2})(y^{2}-1)}})\ \ \ \ \ (x\geq 1,y\geq 1)}

arg ⁡ tanh ⁡ x ± arg ⁡ tanh ⁡ y = arg ⁡ tanh ⁡ x ± y 1 ± x y           ( | x | < 1 , | y | < 1 ) {\displaystyle \arg \tanh x\pm \arg \tanh y=\arg \tanh {\frac {x\pm y}{1\pm xy}}\ \ \ \ \ (|x|<1,|y|<1)}

Derivace

( arg ⁡ sinh ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2 {\displaystyle (\arg \sinh x)'={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}

( arg ⁡ cosh ⁡ x ) ′ = 1 x 2 − 1           ( x > 1 ) {\displaystyle (\arg \cosh x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\ \ \ \ \ (x>1)}

( arg ⁡ tanh ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2           ( | x | < 1 ) {\displaystyle (\arg \tanh x)'={\frac {1}{1-x^{2}}}\ \ \ \ \ (|x|<1)}

( arg ⁡ coth ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2           ( | x | > 1 ) {\displaystyle (\arg \coth x)'={\frac {1}{1-x^{2}}}\ \ \ \ \ (|x|>1)}

Integrál

∫ 1 1 + x 2 d x = arg ⁡ sinh ⁡ x + C {\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}{\rm {d}}x=\arg \sinh x+C}

∫ 1 x 2 − 1 d x = arg ⁡ cosh ⁡ x + C           ( x > 1 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}{\rm {d}}x=\arg \cosh x+C\ \ \ \ \ (x>1)}

∫ 1 1 − x 2 d x {\displaystyle \int {\frac {1}{1-x^{2}}}{\rm {d}}x} = arg ⁡ tanh ⁡ x + C           ( | x | < 1 ) {\displaystyle =\arg \tanh x+C\ \ \ \ \ (|x|<1)}
= arg ⁡ coth ⁡ x + C           ( | x | > 1 ) {\displaystyle =\arg \coth x+C\ \ \ \ \ (|x|>1)}

Externí odkazy

  • Logo Wikimedia Commons Obrázky, zvuky či videa k tématu hyperbolometrická funkce na Wikimedia Commons
Goniometrické a související funkce
Goniometrické funkce
  • sinus
  • kosinus
  • tangens
  • kotangens
  • sekans
  • kosekans
  • historické
    • sinus versus
    • kosinus versus
    • sinus koversus
    • kosinus koversus
    • exsekans
    • exkosekans
    • haversinus
    • haverkosinus
    • kohaversinus
    • kohaverkosinus
Cyklometrické funkce
  • arkus sinus
  • arkus kosinus
  • arkus tangens
  • arkus kotangens
  • arkus sekans
  • arkus kosekans
    		•
    Hyperbolické funkce
    Hyperbolometrické funkce