Dodecaedru snub

Dodecaedru snub
Cele două forme chirale, cw și ccw
(animații cw și ccw, și model 3D)
Descriere
TipPoliedru arhimedic
(poliedru uniform)
Fețe92 (20+60 triunghiuri, 12 pentagoane)
Laturi (muchii)150
Vârfuri60
χ2
Configurația vârfului3.3.3.3.5
Simbol Wythoff| 2 3 5
Simbol Schläflisr{5,3} sau s { 5 3 } {\displaystyle s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}
ht0,1,2{5,3}
Simbol ConwaysD
Diagramă Coxeter
Grup de simetrieI, 1/2H3, [5,3]+, (532), ordin 60
Grup de rotațieI, [5,3]+, (532), ordin 60
Arie≈ 55,287 a2   (a = latura)
Volum≈ 37,617 a3   (a = latura)
Unghi diedru3-3: 164° 10′ 31″ (164,18°)
3-5: 152° 55′ 53″ (152,93°)
Poliedru dualHexacontaedru pentagonal
ProprietățiPoliedru semiregulat, convex, chiral
Figura vârfului
Desfășurată
Duale: Hexacontaedre pentagonale, pe stânga și pe dreapta

În geometrie dodecaedrul snub este un poliedru arhimedic. Are 92 de fețe, din care 20+60 triunghiuri echilaterale și 12 pentagonale, 60 de vârfuri și 150 de laturi.

Este un poliedru chiral, adică are două forme distincte, care sunt imagini în oglindă (sau „enantiomorfe”) una a celeilalte. Reuniunea ambelor forme dă compusul de două dodecaedre snub, iar anvelopa convexă al ambelor seturi de vârfuri este un icosidodecaedru trunchiat.

Are indicele de poliedru uniform U29,[1] indicele Coxeter C32 și indicele Wenninger W18.

Johannes Kepler l-a denumit inițial în latină dodecahedron simus în lucrarea sa Harmonices Mundi din 1619. H.S.M. Coxeter a remarcat că ar putea fi derivat din dodecaedru sau icosaedru, și l-a numit „icosidodecaedru snub”, cu simbolul Schläfli extins vertical s { 5 3 } {\displaystyle s\scriptstyle {\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}} și simbolul Schläfli sr{5,3}.

Coordonate carteziene

Fie ξ ≈ 0,94315125924 rădăcina reală a polinomului de gradul al treilea x3 + 2x2 − φ2, unde φ este secțiunea de aur. Fie punctul p dat de

p = ( φ 2 − φ 2 ξ − φ 3 + φ ξ + 2 φ ξ 2 ξ ) {\displaystyle p={\begin{pmatrix}\varphi ^{2}-\varphi ^{2}\xi \\-\varphi ^{3}+\varphi \xi +2\varphi \xi ^{2}\\\xi \end{pmatrix}}} .

Fie matricile de rotație⁠(d) M1 și M2 date de

M 1 = ( 1 2 φ − φ 2 1 2 φ 2 1 2 1 2 φ − 1 2 1 2 φ φ 2 ) {\displaystyle M_{1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2\varphi }}&-{\frac {\varphi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\varphi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\varphi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\varphi }}&{\frac {\varphi }{2}}\end{pmatrix}}}

și

M 2 = ( 0 0 1 1 0 0 0 1 0 ) . {\displaystyle M_{2}={\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}.}

M1 reprezintă rotația în sens trigonometric cu unghiul 2π/5 în jurul axei (0,1,φ), iar M2 reprezintă rotațiile ciclice cu unghiul 2π/3 în jurul axei (1,1,1) ale coordonatelor (x,y,z). Atunci cele 60 de vârfuri ale dodecaedrului snub sunt cele 60 de imagini ale punctului p în urma înmulțirii repetate cu M1 și/sau M2 Coordonatele vârfurilor sunt combinații liniare integrale ale 1, φ, ξ, φξ, ξ2 și φξ2. Lungimea laturii este

2 ξ 1 − ξ ≈ 0 , 449 750 618 41. {\displaystyle 2\xi {\sqrt {1-\xi }}\approx 0,449\,750\,618\,41.}

Schimbarea semnului tuturor coordonatelor dă imaginea în oglindă a acestui dodecaedru snub.

Raza sferei circumscrise (care trece prin toate vârfurile) este

4 ξ 2 − φ 2 ≈ 0 , 969 589 192 65. {\displaystyle {\sqrt {4\xi ^{2}-\varphi ^{2}}}\approx 0,969\,589\,192\,65.}

Raza sferei mediane este ξ. Aceasta oferă o interpretare geometrică interesantă a numărului ξ. Cele 20 de triunghiuri icosaedrice ale dodecaedrului snub descris mai sus sunt coplanare cu fețele unui icosaedru regulat. Raza mediană a acestui icosaedru circumscris este egală cu 1. Aceasta înseamnă că ξ este raportul dintre razele mediane ale unui dodecaedru snub și icosaedrul în care este înscris.

Unghiul diedru dintre fețele triunghiulare este

θ 33 = 180 ∘ − arccos ⁡ ( 2 3 ξ + 1 3 ) ≈ 164 , 175 366 056 03 ∘ . {\displaystyle \theta _{33}=180^{\circ }-\arccos \left({\frac {2}{3}}\xi +{\frac {1}{3}}\right)\approx 164,175\,366\,056\,03^{\circ }.}

Unghiul diedru dintre fețele triunghi–pentagon este

θ 35 = 180 ∘ − arccos ⁡ − ( 4 φ + 8 ) ξ 2 − ( 4 φ + 8 ) ξ + 12 φ + 19 15 ≈ 152 , 929 920 275 84 ∘ . {\displaystyle \theta _{35}=180^{\circ }-\arccos {\sqrt {\frac {-(4\varphi +8)\xi ^{2}-(4\varphi +8)\xi +12\varphi +19}{15}}}\approx 152,929\,920\,275\,84^{\circ }.}

Dimensiuni metrice

Pentru un dodecaedru snub a cărui lungime a laturii este 1, aria sa este

A = 20 3 + 3 25 + 10 5 ≈ 55 , 286 744 958 445 15. {\displaystyle A=20{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 55,286\,744\,958\,445\,15.}

Volumul său este

V = ( 3 φ + 1 ) ξ 2 + ( 3 φ + 1 ) ξ − φ 6 − 2 3 ξ 2 − φ 2 ≈ 37 , 616 649 962 733 36. {\displaystyle V={\frac {(3\varphi +1)\xi ^{2}+(3\varphi +1)\xi -{\frac {\varphi }{6}}-2}{\sqrt {3\xi ^{2}-\varphi ^{2}}}}\approx 37,616\,649\,962\,733\,36.}

Raza sferei circumscrise este

R = 1 2 2 − ξ 1 − ξ ≈ 2 , 155 837 375. {\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-\xi }{1-\xi }}}\approx 2,155\,837\,375.}

Raza sferei mediane este

r = 1 2 1 1 − ξ ≈ 2 , 097 053 835 25. {\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{1-\xi }}}\approx 2,097\,053\,835\,25.}

Sunt două sfere înscrise, una care atinge fețele triunghiulare și una, puțin mai mică, care atinge fețele pentagonale. Razele lor sunt, respectiv:

r 3 = φ 3 6 ξ 1 1 − ξ ≈ 2 , 077 089 659 74 {\displaystyle r_{3}={\frac {\varphi {\sqrt {3}}}{6\xi }}{\sqrt {\frac {1}{1-\xi }}}\approx 2,077\,089\,659\,74}

și

r 5 = 1 2 φ 2 ξ 2 + 3 φ 2 ξ + 11 5 φ + 12 5 ≈ 1 , 980 915 947 28. {\displaystyle r_{5}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\varphi ^{2}\xi ^{2}+3\varphi ^{2}\xi +{\frac {11}{5}}\varphi +{\frac {12}{5}}}}\approx 1,980\,915\,947\,28.}

Dodecaedrul snub are cea mai mare sfericitate dintre toate poliedrele arhimedice. Sfericitatea este definită ca raportul dintre volumul la pătrat și suprafața la puterea a treia, înmulțit cu constanta 36π (unde această constantă face ca sfericitatea unei sfere să fie egală cu 1). Sfericitatea dodecaedrului snub este de aproximativ 0,947.[2]

Proiecții ortogonale

Dodecaedrul snub nu are simetrie față de centru, ca urmare vârful din față nu corespunde unui vârf opus din spate

Dodecaedrul snub are două proiecții ortogonale, centrate pe două tipuri de fețe: triunghiuri și pentagoane, care corespund cu planele Coxeter A2 și H2, și una centrată pe mijlocul laturilor dintre fețele triunghiulare.

Proiecții ortogonale
Centrată
pe 		Fața
triunghi 		Fața
pentagon 		Latură
Corp
Cadru de sârmă
Simetrie
proiectivă 		[3] [5]+ [2]
Dual

Relații geometrice

Dodecaedru, rombicosidodecaedru și dodecaedru snub
(animații cu expandări și răsuciri)
Alternări uniforme ale icosidodecaedrului trunchiat

Dodecaedrul snub poate fi generat luând cele douăsprezece fețe pentagonale ale dodecaedrului, deplasându-le spre exterior. La o distanță potrivită, prin completarea fețelor pătrate care apar între laturile astfel separate și fețele triunghiulare dintre vârfurile astfel separate se obține rombicosidodecaedrul. Dar pentru forma snub, fețele pentagonale trebuie deplasate ceva mai puțin, se adaugă doar fețele triunghiulare și momentan se lasă celelalte goluri (dreptunghiuri) necompletate. Apoi se rotesc pentagoanele și triunghiurile în jurul centrelor lor pînă ce golurile pot fi umplute cu câte două triunghiuri echilaterale.

Dodecaedrul snub poate fi derivat și din icosidodecaedrul trunchiat prin procesul de alternare. 60 de vârfuri ale icosidodecaedrului trunchiat formează un poliedru echivalent topologic cu dodecaedrul snub, celelalte 60 formează imaginea în oglindă. Poliedrul rezultat este tranzitiv pe vârfuri dar nu este uniform.

Poliedre înrudite

Cubul snub face parte dintr-o familie de poliedre uniforme înrudite cu cubul și octaedrul regulat.

Familia de poliedre icosaedrice uniforme
Simetrie: [5,3], (*532) [5,3]+, (532)
{5,3} t{5,3} r{5,3} t{3,5} {3,5} rr{5,3} tr{5,3} sr{5,3}
Duale ale poliedrelor uniforme
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5

Acest poliedru este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre și pavări snub cu configurațiile vârfului (3.3.3.3.n.) și diagrama Coxeter–Dynkin . Aceste figuri și dualele lor au simetrie de rotație (n32) în notația orbifold, existând în planul euclidian pentru n = 6, iar în planul hiperbolic pentru orice n mai mare. Se poate considera că familia începe cu n = 2, care are fețele degenerate în digoane.

Variante de pavări snub cu simetrie n32: 3.3.3.3.n
Simetrie
n32 		Sferice Euclidiană Hiperbolice compacte Paracomp.
232 332 432 532 632 732 832 ∞32
Imagini
snub
Config. 3.3.3.3.2 3.3.3.3.3 3.3.3.3.4 3.3.3.3.5 3.3.3.3.6 3.3.3.3.7 3.3.3.3.8 3.3.3.3.∞
Imagini
giro
Config. V3.3.3.3.2 V3.3.3.3.3 V3.3.3.3.4 V3.3.3.3.5 V3.3.3.3.6 V3.3.3.3.7 V3.3.3.3.8 V3.3.3.3.∞

Note

  1. ^ en Eric W. Weisstein, Uniform Polyhedron la MathWorld.
  2. ^ en P. K. Aravind, How Spherical Are the Archimedean Solids and Their Duals?, The College Mathematics Journal, Vol. 42, No. 2 (March 2011), pp. 98–107

Bibliografie

  • en Jayatilake, Udaya (martie 2005). „Calculations on face and vertex regular polyhedra”. Mathematical Gazette. 89 (514): 76–81. doi:10.1017/S0025557200176818. 
  • en Robert Williams (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications Inc., ISBN: 0-486-23729-X. (Section 3-9)
  • Cromwell, P. (). Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. pp. 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2. 

Vezi și

Legături externe

  • Materiale media legate de dodecaedru snub la Wikimedia Commons
  • en Eric W. Weisstein, Snub dodecahedron la MathWorld.
  • en Eric W. Weisstein, Archimedean solid la MathWorld.
  • en Editable printable net of a Snub Dodecahedron with interactive 3D view
  • en The Uniform Polyhedra
  • en Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
  • en Mark S. Adams and Menno T. Kosters. Volume Solutions to the Snub Dodecahedron
Portal icon Portal Matematică
  • en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”.  Cheie: snid
  • v
  • d
  • m
Poliedre platonice (regulate)
Poliedre Catalan
(duale ale arhimedicelor)
Diedrice regulate
Poliedre uniforme
duale:
Alte poliedre
Alte zonoedre
Poliedrele degenerate sunt înscrise cu italice.