Twierdzenie o zbieżności średnich

Ten artykuł od 2011-07 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Twierdzenie o zbieżności średnich – twierdzenie analizy matematycznej pozwalające stwierdzić zbieżność pewnych ciągów i wyznaczyć ich granice.

Twierdzenie

Jeśli ciąg ${\displaystyle c_{n}}$ ma granicę (właściwą lub niewłaściwą), to granica ciągu średnich arytmetycznych ${\displaystyle A_{n}={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}c_{k}}{n}}}$ istnieje i jest jej równa.

Jeśli ponadto ${\displaystyle c_{n}>0}$ dla każdego n, to również ciągi średnich geometrycznych ${\displaystyle G_{n}={\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}|c_{k}|}}}$ i harmonicznych ${\displaystyle H_{n}={\frac {n}{\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{c_{k}}}}}}$ mają tę samą granicę ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{n}=\lim _{n\to \infty }G_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}.}$

Dowód

Korzystając z twierdzenia Stolza dla ciągów ${\displaystyle a_{n}=n}$ i ${\displaystyle b_{n}=\sum \limits _{k=1}^{n}c_{k},}$ otrzymujemy:

• I. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}\right)=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {c_{n}}{1}}\right)=g\Rightarrow \lim _{n\to \infty }\left({\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}c_{k}}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right)=g.}$
• II. ${\displaystyle \left({\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}\right)=\left({\frac {c_{n}}{1}}\right){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\pm \infty \Rightarrow \left({\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}c_{k}}{n}}\right)=\left({\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\pm \infty .}$

Dla średnich geometrycznych:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}|c_{k}|}}=\lim _{n\to \infty }\exp {{\frac {1}{n}}\ln {\prod _{k=1}^{n}|c_{k}|}}=\lim _{n\to \infty }\exp {{\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}\ln {|c_{k}|}}{n}}=\exp {\lim _{n\to \infty }{\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}\ln {|c_{k}|}}{n}}}=\exp {\lim _{n\to \infty }\ln {|c_{n}|}}}=\exp {\ln {\lim _{n\to \infty }c_{n}}}=\lim _{n\to \infty }c_{n}.}$

Czwarta równość wynika z udowodnionego wyżej twierdzenia, a pozostałe z własności funkcji wykładniczej i logarytmu, w szczególności ich ciągłości.

Dla średnich harmonicznych:

${\displaystyle {\frac {n}{\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{c_{k}}}}}={\frac {1}{\lim _{n\to \infty }{\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{c_{k}}}}{n}}}}={\frac {1}{\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{c_{n}}}}}=\lim _{n\to \infty }c_{n}.}$

Druga równość wynika z twierdzenia dla średnich arytmetycznych.

Zastosowania

• Ciąg ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{n!}}}$ jest rozbieżny do nieskończoności, bo n jest taki.
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{1\prod _{k=1}^{n-1}{\frac {k+1}{k}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{n}}=1.}$