Ciąg ułamków Fareya rzędu
– rosnący ciąg
wszystkich nieskracalnych ułamków
takich, że
[1].
Przykład
[2].
Własności
- Twierdzenie Cauchy’ego-Fareya[3].
- Dla
nie ma dwóch kolejnych ułamków o tym samym mianowniku[4]. - Jeśli
są kolejnymi ułamkami ciągu ułamków Fareya
to
[5]. - Jeśli
są kolejnymi ułamkami ciągu ułamków Fareya
to
[6].
Przykład zastosowania
| Ta sekcja od 2017-07 zawiera treści, przy których brakuje odnośników do źródeł. Należy dodać przypisy do treści niemających odnośników do źródeł. Dodanie listy źródeł bibliograficznych jest problematyczne, ponieważ nie wiadomo, które treści one uźródławiają. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tej sekcji. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tej sekcji. |
Znaleźć liczby
najbliższe
których mianowniki są mniejsze od 50.
Mamy:
![{\displaystyle {\frac {0}{1}}<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<{\frac {1}{1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a335737baf8f91225fdf2221cb12bb399c5feb)
czyli
![{\displaystyle {\frac {0}{1}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {1}{1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2738a49eff9fa136874119120a70b872320f5624)
zachodzi nierówność:
![{\displaystyle {\frac {0+1}{1+1}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1657c58db211d1d17fa1185ee954c03b0820facd)
więc:
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {1}{1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ea57bdbefa05a284a794f8026d1f8e6d8094993)
Zauważamy, że skrajne wartości są najlepszymi oszacowaniami spośród liczb o mianowniku nie większym niż 2.
Stwierdzamy, że
czyli:
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}<{\frac {2}{3}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {1}{1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d831ad89a978fac0abcd081302e2328719596b80)
a zatem:
![{\displaystyle {\frac {2}{3}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {1}{1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca3fb4bcaf823136f0ef320625a63c98fbb244fe)
W kolejnych krokach dostajemy:
![{\displaystyle {\frac {2}{3}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {3}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb98f1904c1a30e8f876372c4004b2d70f325de1)
![{\displaystyle {\frac {2}{3}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {5}{7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/594f5d21569f7fad3f0a44c28c62f2c106e5d1e0)
![{\displaystyle {\frac {7}{10}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {5}{7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14ce75806f732f58bde27735b1edef56c3e892ef)
![{\displaystyle {\frac {12}{17}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {5}{7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa9a97d00707148c46d07dda22b17e6cd5b09cf)
![{\displaystyle {\frac {12}{17}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {17}{24}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79d35c4650d0a133e568d234cd089b996d3a9dbb)
![{\displaystyle {\frac {12}{17}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {29}{41}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f782f17876f728d3499812c2f47a32385735dab3)
Liczby
oraz
są kolejnymi liczbami w pięćdziesiątym ciągu Fareya, więc nie ma pomiędzy nimi liczby o mianowniku mniejszym niż 58, czyli są to poszukiwane liczby.
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 58, Definicja 12.2.
- ↑ Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 58, Przykład 12.3.
- ↑ Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 58, Twierdzenie 12.4.
- ↑ Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 59, Twierdzenie 12.6.
- ↑ Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 59, Twierdzenie 12.7.
- ↑ Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 59, Twierdzenie 12.8.
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Farey Sequence, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
Ciągi liczbowe
pojęcia definiujące | ciągi ogólne | - funkcja
- dziedzina
- liczby naturalne
- podzbiór
|
---|
ciągi liczbowe | |
---|
|
---|
typy ciągów | |
---|
przykłady ciągów liczb naturalnych | |
---|
inne przykłady ciągów liczb | |
---|
twierdzenia | |
---|
powiązane pojęcia | |
---|