Przestrzeń metryczna

Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru^[1].

Przestrzenie metryczne tworzą najogólniejszą klasę zbiorów, w których używa się pojęcia odległości wzorowanej na odległości znanej z przestrzeni euklidesowych (prostej, płaszczyzny czy przestrzeni trójwymiarowej).

Wprowadzone zostały przez Maurice’a Frécheta^[2].

Definicja metryki

Niech ${\displaystyle X}$ oznacza dowolny niepusty zbiór. Metryką w zbiorze ${\displaystyle X}$ nazywa się funkcję^[3]

${\displaystyle d\colon X\times X\to [0,+\infty ),}$

która dla dowolnych elementów ${\displaystyle a,b,c}$ tego zbioru spełnia warunki:

1. identyczność nierozróżnialnych

   ${\displaystyle d(a,b)=0\iff a=b,}$

2. symetria

   ${\displaystyle d(a,b)=d(b,a),}$

3. nierówność trójkąta

   ${\displaystyle d(a,b)\leqslant d(a,c)+d(c,b).}$

Gdy ${\displaystyle d}$ jest metryką w zbiorze ${\displaystyle X,}$ to parę ${\displaystyle (X,d)}$ nazywa się przestrzenią metryczną,

• elementy zbioru ${\displaystyle X}$ nazywa się punktami,
• liczbę ${\displaystyle d(a,b)}$ nazywa się odległością punktu ${\displaystyle a}$ od punktu ${\displaystyle b.}$

Uwaga 1.

Niekiedy pomija się warunek nieujemności ${\displaystyle d(a,b)\geqslant 0}$ przyjmując ${\displaystyle d\colon X\times X\to \mathbb {R} }$ zamiast ${\displaystyle d\colon X\times X\to [0,+\infty ).}$

Wynika on bowiem z wypisanych wyżej aksjomatów:

${\displaystyle 0=d(a,a)\leqslant d(a,b)+d(b,a)=2\cdot d(a,b).}$

Uwaga 2.

Można wyeliminować aksjomat symetrii, gdy zastąpi się warunek trójkąta warunkiem:

${\displaystyle d(a,b)\leqslant d(a,c)+d(b,c).}$

Dowód:

1) Przyjmując w powyższym warunku ${\displaystyle c=a}$ dostaniemy:

${\displaystyle d(a,b)\leqslant d(a,a)+d(b,a)=d(b,a).}$

2) Zamieniając w powyższym warunku ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ oraz przyjmując ${\displaystyle c=b}$ dostaniemy:

${\displaystyle d(b,a)\leqslant d(b,b)+d(a,b)=d(a,b).}$

3) Z powyższych dwóch nierówności wynika: ${\displaystyle d(a,b)=d(b,a),}$ c.n.d.

Metryki w przestrzeni liniowej

W przestrzeni liniowej (np. euklidesowej, unormowanej, unitarnej) można wprowadzić różnie zdefiniowane metryki. W wyniku tego przestrzeń nabywa dodatkowej struktury – powstaje przestrzeń metryczna. W poniższych przykładach ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ oraz ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})}$ oznaczają elementy przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Metryka euklidesowa

Metrykę euklidesową w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ definiuje się wzorem

${\displaystyle d_{e}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )={\sqrt {(y_{1}-x_{1})^{2}+\ldots +(y_{n}-x_{n})^{2}}},}$

tzn. jako pierwiastek euklidesowego iloczynu skalarnego różnicy dwóch wektorów przez siebie:

${\displaystyle d_{e}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )={\sqrt {\langle \mathbf {y} -\mathbf {x} ,\mathbf {y} -\mathbf {x} \rangle }}.}$

W przypadku jednowymiarowym powyższy wzór redukuje się do wartości bezwzględnej różnic współrzędnych punktów ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1})}$ oraz ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1})}$

${\displaystyle d_{e}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=|y_{1}-x_{1}|.}$

Metryka generowana przez normę

Jeżeli ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ jest przestrzenią unormowaną, to jako odległość (metrykę) punktów ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} }$ można przyjąć długość (normę) wektora, będącego różnicą wektorów ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} ,}$ tj.

${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|}$ dla ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in X}$

Metryka ta jest uogólnieniem metryki euklidesowej. Np. metrykami są funkcje postaci

${\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|_{p}={\big (}|x_{1}-y_{1}|^{p}+|x_{2}-y_{2}|^{p}+\ldots +|x_{n}-y_{n}|^{p}{\big )}^{1/p},}$

gdzie ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty .}$ Metryka ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ jest metryką euklidesową i oznacza się ją symbolem ${\displaystyle |\cdot |.}$

Metrykę, którą definiuje się w oparciu o normę przestrzeni, nazywa się metryką generowaną przez normę.

Metryka miasto

Metryka miasto, zwana również metryką Manhattan w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ jest definiowana wzorem

${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=|y_{1}-x_{1}|+|y_{2}-x_{2}|+...+|y_{n}-x_{n}|.}$

Podróż z punktu x do punktu y wymaga poruszania się wyłącznie prostopadłymi ulicami, tak jak na gęsto zabudowanym Manhattanie.

Metryka maksimum

 Zobacz też: odległość Czebyszewa.

Metryka maksimum zwana także metryką nieskończoność, maksimum, Czebyszewa, szachową jest określona w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ za pomocą wzoru

${\displaystyle d_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\max _{k=1,\dots ,n}~|x_{k}-y_{k}|}$

– odległość ta jest de facto metryką generowaną przez normę maksimum zadaną wzorem

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }=\max {\big \{}|x_{i}|:i=1,\dots ,n{\big \}}.}$

Kula w tej metryce jest kostką n-wymiarową.

Łatwo sprawdzić, że w grze w szachy minimalna liczba ruchów, jakie musi wykonać król, aby przejść z pewnego pola na inne określona jest tą metryką (na rysunku obok pokazano możliwe ruchy króla z danego pola).

Metryka węzła kolejowego

 Zobacz też: jeż (topologia).

Metryka węzła kolejowego zwana także metryką centrum, kolejową, metra paryskiego może być zdefiniowana na płaszczyźnie.

Niech ${\displaystyle O}$ będzie pewnym ustalonym punktem na płaszczyźnie. Odległość dwóch punktów ${\displaystyle A,B}$ w tej metryce wyznacza się następująco:

Jeżeli punkty leżą na prostej przechodzącej przez punkt ${\displaystyle O,}$ to

${\displaystyle d_{k}(A,B)=d_{e}(A,B),}$

w przeciwnym wypadku

${\displaystyle d_{k}(A,B)=d_{e}(A,O)+d_{e}(O,B).}$

Metrykę tę można uogólnić na przestrzeń ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ w której ustalono pewien jej punkt ${\displaystyle O.}$

Metrykę powyższą można też zastosować do labiryntu, w którym wszystkie korytarze są prostymi rozchodzącymi się gwiaździście od jednego punktu ${\displaystyle O.}$ Przejście z jednego korytarza do drugiego wymaga dotarcia do skrzyżowania (centrum), aby możliwe było skręcenie w docelowy korytarz. Długość pokonanej trasy odpowiada odległości wyliczonej w tej metryce.

Metryka rzeka

Niech ${\displaystyle r}$ będzie ustaloną prostą na płaszczyźnie. Odległość ${\displaystyle d_{r}(A,B)}$ punktów ${\displaystyle A,B}$ w metryce rzece wyznacza się następująco:

Jeżeli punkty leżą na prostej prostopadłej do prostej ${\displaystyle r,}$ to

${\displaystyle d_{r}(A,B)=d_{e}(A,B),}$

w przeciwnym wypadku

${\displaystyle d_{r}(A,B)=d_{e}(A,C_{1})+d_{e}(C_{1},C_{2})+d_{e}(C_{2},B).}$

gdzie ${\displaystyle C_{1},C_{2}}$ są rzutami prostopadłymi punktów odpowiednio ${\displaystyle A,B}$ na prostą ${\displaystyle r.}$

Metrykę tę można uogólnić na przestrzeń ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ w której ustalono pewną jej prostą ${\displaystyle r.}$

Metrykę tą można zastosować np. do mierzenia trasy pokonanej drogą wodną w sieci złożonej z rzeki i licznych, prostopadłych jej dopływów (por. rysunek).

Uogólniona metryka rzeka

Dalsze uogólnienie tej i poprzedniej metryki w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ można uzyskać przyjmując zamiast punktu i prostej rozmaitość liniową ${\displaystyle \mathbb {r} }$ wymiaru a spełniającego ${\displaystyle 0\leqslant a<n.}$ Niech ponadto ${\displaystyle 0<b<n,}$ przy czym ${\displaystyle a+b\leqslant n.}$

Jeżeli punkty ${\displaystyle A,B}$ leżą na pewnej rozmaitości wymiaru ${\displaystyle b}$ prostopadłej do rozmaitości ${\displaystyle r,}$ to

${\displaystyle d_{r}(A,B)=d_{e}(A,B),}$

w przeciwnym wypadku

${\displaystyle d_{r}(A,B)=d_{e}(A,C_{1})+d_{e}(C_{1},C_{2})+d_{e}(C_{2},B).}$

gdzie ${\displaystyle C_{1},C_{2}}$ są rzutami prostopadłymi punktów odpowiednio ${\displaystyle A,B}$ na prostą ${\displaystyle r.}$

Dla a=1, b=1 jest to metryka rzeka, dla a=0, b=1 jest to metryka węzła kolejowego.

Metryka dyskretna

Metrykę dyskretną zwaną także metryką zero-jedynkową wprowadzić można w dowolnym niepustym zbiorze. Odległość ${\displaystyle d_{d}(x,y)}$ punktów ${\displaystyle x}$ oraz ${\displaystyle y}$ zbioru ${\displaystyle X}$ określa wzór^[3]

${\displaystyle d_{d}(x,y)={\begin{cases}0,&{\text{gdy }}x=y,\\1,&{\text{gdy }}x\neq y.\end{cases}}}$

Parę ${\displaystyle X}$ z metryką ${\displaystyle d_{d}}$ nazywa się przestrzenią metryczną dyskretną.

Porównanie metryk przytoczonych w przykładach

Dla ${\displaystyle n=1}$ metryki euklidesowa, miasta (Manhattan), maksimum (szachowa) pokrywają się. Jeżeli ${\displaystyle n=2,}$ to metryki maksimum (szachowa) i miasta (Manhattan) nie pokrywają się, ale czynią z płaszczyzny przestrzenie izometryczne (tzn. izomorficzne metrycznie, czyli nierozróżnialne metrycznie), gdyż w obu przypadkach kulami są kwadraty z przestrzeni euklidesowej, ale o różnym położeniu (odpowiednio o bokach równoległych do osi oraz obróconych względem osi o 45°).

Metryka w przestrzeniach pseudoriemannowskich

Powierzchnia sfery, elipsoidy obrotowej, hiperboloidy obrotowej, czy też 4-wymiarowa czasoprzestrzeń opisywana w ogólnej teorii względności są przykładami przestrzeni nieeuklidesowych, które określa się jako rozmaitości riemannowskie i najogólniejsze – rozmaitości pseudoriemannowskie.

Nie da się w ogólnym przypadku wprowadzić tu metryki opisanej prostym wzorem, tak jak w przestrzeniach liniowych, np. w przestrzeni euklidesowej. Podstawową rolę gra tu tensor metryczny.

Niech ${\displaystyle M}$ będzie rozmaitością wymiaru ${\displaystyle n}$ i niech dany będzie układ współrzędnych krzywoliniowych, tak że każdy punkt rozmaitości ma określone współrzędne krzywoliniowe ${\displaystyle \mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n}).}$

Odległość infinitezymalna

Tensor metryczny definiuje infinitezymalne odległości między punktami: długość wektora ${\displaystyle d\mathbf {x} =(dx^{1},\dots ,dx^{n})}$ łączącego punkt ${\displaystyle \mathbf {x} }$ z infinitezymalnie odległym punktem ${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {x} +d\mathbf {x} }$ zadana jest wzorem

${\displaystyle |d\mathbf {x} |={\sqrt {{\Bigg |}\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\mathbf {x} )dx^{i}dx^{j}{\Bigg |}}}}$

gdzie:

${\displaystyle g_{ij}(\mathbf {x} ),i,j=1,\dots ,n}$

– współrzędne tensora metrycznego (będące funkcjami położenia ${\displaystyle \mathbf {x} }$)

Odległość dowolnych punktów

Dla punktów ${\displaystyle \mathbf {x,y} }$ rozmaitości ${\displaystyle M}$ dowolnie odległych metrykę definiuje się jako kres dolny zbioru, zawierającego długości krzywych ${\displaystyle \gamma }$ ciągłych i różniczkowalnych, łączących punkty ${\displaystyle \mathbf {x,y} ,}$ czyli

${\displaystyle d(\mathbf {x,y} )=\inf \,\{\,L(\gamma ),\gamma \in M\,,\gamma (a)=\mathbf {x} ,\gamma (b)=\mathbf {y} \}}$

gdzie:

• ${\displaystyle \inf \,\{\dots \}}$ = infimum = kres dolny zbioru
• ${\displaystyle L(\gamma )=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{\Bigg |}\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t)){\frac {d\gamma ^{i}(t)}{dt}}{\frac {d\gamma ^{j}(t)}{dt}}{\Bigg |}}}\,dt}$ – długość krzywej ${\displaystyle \gamma }$

przy czym krzywa ${\displaystyle \gamma }$ dana jest przez ${\displaystyle n}$ równań parametrycznych

${\displaystyle \gamma (t)=[\gamma ^{1}(t),\dots ,\gamma ^{n}(t)],}$ ${\displaystyle t\in \langle a,b\rangle }$

oraz

${\displaystyle \gamma (a)=\mathbf {x} ,\,\,\gamma (b)=\mathbf {y} }$

Dla przestrzeni riemannowskich odległość punktów jest wyznaczona przez łuk krzywej geodezyjnej. Dla sfery będzie to łuk koła wielkiego, na którym leżą dwa punkty. A np. dla czasoprzestrzeni, która jest 4-wymiarową przestrzenią pseudoriemannowską, odległość może być zerowa, jeśli łączy dwa punkty – tzw. zdarzenia czasoprzestrzenne – które są związane z rozchodzeniem się sygnału świetlnego.

Topologia przestrzeni metrycznej

Przestrzeń metryczną ${\displaystyle X}$ łatwo jest przekształcić w przestrzeń topologiczną, definiując następująco topologię:

a) bazę topologii stanowi rodzina wszystkich kul otwartych, tj. zbiorów postaci

${\displaystyle B(x,r)=\{y\in X:d\,(x,y)<r\},}$

gdzie ${\displaystyle x}$ – dowolny elementem przestrzeni ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle r}$ – promień kuli ${\displaystyle (r>0),}$

b) podzbiór ${\displaystyle U}$ przestrzeni ${\displaystyle X}$ należy do topologii (czyli jest zbiorem otwartym), jeżeli jest sumą kul otwartych.

Taką topologię nazywa się topologią generowaną na zbiorze ${\displaystyle X}$ przez metrykę ${\displaystyle d.}$

Metryzowalna przestrzeń topologiczna

 Osobny artykuł: Przestrzeń metryzowalna.

Przestrzeń topologiczną ${\displaystyle (X,\tau )}$ nazywamy przestrzenią metryzowalną, jeśli da się w niej wprowadzić topologię generowaną przez jakąś metrykę. Przykładami twierdzeń dotyczących metryzacji przestrzeni topologicznych są:

• twierdzenie Nagaty-Smirnowa,
• twierdzenie Binga.

Z punktu widzenia topologii metryki służą badaniu przestrzeni metryzowalnych (analogicznie jak układy współrzędnych służą badaniu przestrzeni euklidesowych).

Własności przestrzeni metrycznych

Tw. 1 Każda przestrzeń metryczna jest

• parazwarta,
• doskonale normalna,
• Hausdorffa,
• spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.

Tw. 2 Poniższe niezmienniki topologiczne są równoważne w przestrzeniach metrycznych:

• drugi aksjomat przeliczalności, ośrodkowość, własność Lindelöfa,
• zwartość, ciągowa zwartość, przeliczalna zwartość.

Definicja odległości punktu od zbioru

 Osobny artykuł: metryka Hausdorffa.

Odległością (odstępem) punktu ${\displaystyle x}$ od zbioru ${\displaystyle A}$ nazywa się funkcję

${\displaystyle \delta _{A}(x)=\inf {\big \{}d(x,a):a\in A{\big \}}.}$

Równoważność metryk

Definicja

Niech ${\displaystyle (X,d_{1}),(X,d_{2})}$ będą przestrzeniami metrycznymi.

Df. 1 Metryki ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$ nazywa się równoważnymi topologicznie, jeżeli granice dowolnych ciągów obliczone z użyciem tych metryk są identyczne^[4].

Df. 2 Metryki ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$ nazywa się równoważnymi lipschitzowsko, jeżeli istnieją stałe ${\displaystyle c,\,C\,>0,}$ takie że dla każdego ${\displaystyle x,y\in X}$ spełniony jest warunek

${\displaystyle c\cdot d_{1}(x,y)\leqslant d_{2}(x,y)\leqslant C\cdot d_{1}(x,y).}$

Twierdzenia o metrykach równoważnych

Tw. 1 Metryki równoważne lipschitzowsko są równoważne topologicznie: jeśli pewien ciąg elementów zbioru ${\displaystyle X}$ jest zbieżny w sensie metryki ${\displaystyle d_{1},}$ to jest także zbieżny w sensie metryki ${\displaystyle d_{2}.}$

Tw. 2 W rzeczywistej przestrzeni liniowej skończonego wymiaru wszystkie metryki indukowane przez normy Banacha są równoważne lipschitzowsko, a więc i topologicznie.

Tw. 3 Gdy dwie normy Banacha zdefiniowane na tej samej przestrzeni liniowej są topologicznie równoważne, to są one także równoważne lipschitzowsko.

Metryka niezmiennicza na przesunięcia

Metrykę ${\displaystyle d}$ nazywa się niezmienniczą ze względu na przesunięcia, jeśli na przestrzeni metrycznej ${\displaystyle X}$ określone jest działanie dodawania ${\displaystyle +\colon X\times X\to X}$ i dla dowolnych punktów ${\displaystyle a,x,y\in X}$ zachodzi warunek

${\displaystyle d(x,y)=d(x+a,y+a).}$

Uogólnienia

Rozpatruje się wiele funkcji spełniających podobne układy aksjomatów:

• zastępując aksjomat identyczności nierozróżnialnych następującym

${\displaystyle d(a,a)=0}$

uzyskuje się tzw. pseudometrykę.

• rezygnując z aksjomatu symetrii uzyskuje się quasi-metrykę
• zastępując warunek trójkąta aksjomatem

${\displaystyle d(a,b)\leqslant \max {\big \{}d(a,c),d(c,b){\big \}}}$ uzyskuje się funkcję nazywaną ultrametryką.

Zobacz też

Inne typy metryk:

• metryka euklidesowa
• metryka pomiarowa
• metryka probabilistyczna
• metryka riemannowska
• metryka Czebyszewa
• metryka Friedmana-Lemaître’a-Robertsona-Walkera
• metryka Hausdorffa
• metryka Mahalanobisa
• metryka Minkowskiego
• metryka Schwarzschilda

Pseudometryki:

• pseudometryka pseudoriemannowska

Przestrzenie metryzowalne:

• przestrzeń topologiczna
• przestrzeń unormowana
• przestrzeń pseudometryczna

Przypisy

Bibliografia

• Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.

Literatura dodatkowa

Polskojęzyczna

• Wacław Sierpiński: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, 1965, s. 131.
• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: PWN, 1975.brak strony w książce
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. drugie, zmienione. Warszawa: PWN, 1962.brak strony w książce

Anglojęzyczna

• Athanase Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature, European Mathematical Society, 2004, ISBN 978-3-03719-010-4.

Linki zewnętrzne

• MichałM. Krych MichałM., Przestrzeń metryczna, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, kwiecień 2019, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-07-19]  (pol.).
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Metric Space, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-10-10].
• Metric space (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].