Metryka Hausdorffa

Metryka Hausdorffa, zwana inaczej odstępem Hausdorffa – odległość pomiędzy zwartymi podzbiorami przestrzeni metrycznej zupełnej ${\displaystyle X.}$

Definicja

Niech ${\displaystyle (X,d)}$ będzie dowolną przestrzenią metryczną zupełną, a ${\displaystyle H(X)}$ przestrzenią, której elementami są zwarte i niepuste podzbiory przestrzeni ${\displaystyle X.}$ Niech ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ będą elementami przestrzeni ${\displaystyle H(X),}$ a ${\displaystyle x,y}$ elementami przestrzeni ${\displaystyle X,}$ przy czym ${\displaystyle x\in A,y\in B.}$ Wyrażenia:

${\displaystyle \delta (x,B)=\inf\{d(x,y)\colon y\in B\}}$

${\displaystyle \delta (y,A)=\inf\{d(x,y)\colon x\in A\}}$

oznaczają odpowiednio odstęp punktu ${\displaystyle x}$ od zbioru ${\displaystyle B}$ i odstęp punktu ${\displaystyle y}$ od zbioru ${\displaystyle A.}$ Z kolei wyrażenia:

${\displaystyle \delta (A,B)=\sup\{\delta (x,B)\colon x\in A\}}$

${\displaystyle \delta (B,A)=\sup\{\delta (y,A)\colon y\in B\}}$

oznaczają odpowiednio odstęp zbioru ${\displaystyle A}$ od zbioru ${\displaystyle B}$ i odstęp zbioru ${\displaystyle B}$ od zbioru ${\displaystyle A.}$
Metryką Hausdorffa nazywamy funkcję ${\displaystyle h\colon H(X)\times H(X)\to [0;\infty )}$ określoną wzorem^[1][2][3]:

${\displaystyle h(A,B)=\max\{\delta (A,B),\delta (B,A)\}}$

Uwagi

• Minima i maksima w powyższych zbiorach są osiągane ze względu na zwartość zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B.}$
• Gdy ${\displaystyle A\subseteq B,}$ to ${\displaystyle \delta (A,B)=0.}$
• Gdy ${\displaystyle B\backslash A\neq \emptyset ,}$ to ${\displaystyle \delta (B,A)\neq 0.}$
• Odstępy ${\displaystyle \delta (A,B)}$ i ${\displaystyle \delta (B,A)}$ mogą być różne. Jest tak na przykład, gdy ${\displaystyle A}$ jest podzbiorem właściwym zbioru ${\displaystyle B.}$
• Alternatywnie, metrykę Hausdorffa można zdefiniować w języku ${\displaystyle \epsilon }$-otoczeń. Dla danego zbioru ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle \epsilon >0}$ oznaczamy ${\displaystyle B(x,\epsilon )}$ kulę o środku ${\displaystyle x}$ i promieniu ${\displaystyle \epsilon }$ oraz określamy

${\displaystyle A_{\epsilon }=\bigcup _{x\in A}B(x,\epsilon ).}$

Wówczas metrykę Hausdorffa możemy przedstawić w postaci wyrażenia:

${\displaystyle h(A,B)=\inf \,\{\epsilon \colon B\subset A_{\epsilon }}$ oraz ${\displaystyle A\subset B_{\epsilon }\}.}$

• Odwzorowanie ${\displaystyle x\mapsto \{x\}}$ jest zanurzeniem izometrycznym przestrzeni ${\displaystyle X}$ w przestrzeń ${\displaystyle H(X).}$ Ponadto zbiór ${\displaystyle \{\{x\}\colon x\in X\}}$ jest domknięty w ${\displaystyle H(X),}$ co oznacza, że ciąg zbiorów jednoelementowych może zbiegać co najwyżej do zbioru jednoelementowego.

• Przestrzeń ${\displaystyle (H(X),\,h),}$ z wprowadzoną metryką Hausdorffa ${\displaystyle h}$ jest przestrzenią metryczną zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle X}$ jest zupełna^[1][2][4].
• Topologia przestrzeni ${\displaystyle (H(X),h)}$ zależy od topologii przestrzeni ${\displaystyle (X,\,d),}$ a nie od samej metryki ${\displaystyle d{:}}$ gdy metrykę ${\displaystyle d}$ zastąpić przez topologicznie równoważną ${\displaystyle d}$' (obie w ${\displaystyle X}$), to nowa, indukowana metryka Hausdorffa w ${\displaystyle H(X)}$ będzie topologicznie równoważna starej (będzie indukować tę samą topologię w ${\displaystyle H(X)}$).

• ${\displaystyle H(X)}$ jest przestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią zwartą.

• Zbiór ${\displaystyle \{F\subset X\colon F}$ jest skończony ${\displaystyle \}}$ jest gęsty w ${\displaystyle H(X).}$

Przykład

W przestrzeni ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d)}$ z metryką euklidesową rozważmy dwa zbiory domknięte: ${\displaystyle A\colon =[-2;1]\times [-2;1]}$ oraz ${\displaystyle B\colon =[0;2]\times [0;2].}$ Odpowiednie odległości wynoszą:

${\displaystyle \delta (A,B)={\sqrt {8}},}$

${\displaystyle \delta (B,A)={\sqrt {2}},}$

${\displaystyle h(A,B)={\sqrt {8}}.}$

Uogólnienia

Metryka Hausdorffa może być definiowana w podobny sposób dla domkniętych i niekoniecznie zwartych podzbiorów przestrzeni ${\displaystyle X.}$ W tym wypadku metryka może przyjmować wartości nieskończone, a topologia przestrzeni ${\displaystyle H(X)}$ będzie zależeć nie tylko od topologii przestrzeni ${\displaystyle X,}$ ale też od użytej w ${\displaystyle X}$ metryki ${\displaystyle d.}$

Z kolei dla zbiorów niekoniecznie domkniętych można podobnie zdefiniować funkcję odległości, jako odległość między domknięciami tych zbiorów. Funkcja będzie pseudometryką (nie będzie spełniać warunków metryki – odległość pomiędzy dwoma różnymi zbiorami mającymi to samo domknięcie będzie równa zero, wbrew pierwszemu warunkowi definicji metryki).

Przypisy

Bibliografia

• Michael Barnsley: Fractals Everywhere. San Diego: Academic Press, 1988. (ang.).
• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: 1975.
• Jacek Kudrewicz: Fraktale i chaos. Wyd. czwarte. Warszawa: WNT, 2007.
• Gerald Edgar: Measure, topology and fractal geometry. Wyd. drugie. Springer, 2008, s. 71–73. (ang.).