Liczby wymierne

Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, w którym dzielnik jest różny od zera^[1]. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych zazwyczaj oznacza się symbolem ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ od niemieckiego słowa Quotient – iloraz lub stosunek^[2]. Symbolicznie:

${\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}.}$

Liczby wymierne są przez to uogólnieniem liczb całkowitych ${\displaystyle (\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} )}$ umożliwiającym dzielenie przez dowolną liczbę różną od zera; na liczbach wymiernych można wykonywać wszystkie cztery podstawowe działania arytmetyczne. Jest też kilka innych podstawowych własności tego zbioru:

• porządek liczb wymiernych jest gęsty – między każdą parą liczb wymiernych istnieje inna liczba tego typu^[1];
• liczby wymierne można zapisywać ułamkami dziesiętnymi – są one skończone lub okresowe^[1];
• pierwiastek z liczby wymiernej nie musi być wymierny; przykładowo pierwiastek kwadratowy z dwójki jest niewymierny^[3]: ${\displaystyle {\sqrt {2}}\notin \mathbb {Q} .}$

Podstawowym uogólnieniem liczb wymiernych są liczby rzeczywiste, których ułamki dziesiętne mogą być jednocześnie nieskończone i nieokresowe^[3]. Więcej informacji o liczbach wymiernych dostarcza matematyka wyższa:

• konstruuje je za pomocą liczb całkowitych;
• opisuje dalsze własności, opisane niżej;
• wprowadza inne uogólnienia, zwane rozszerzeniami ciała liczb wymiernych. Przykłady to pierwiastniki liczb wymiernych i inne liczby algebraiczne; nie muszą one należeć do liczb rzeczywistych, podobnie jak liczby p-adyczne.

Konstrukcja

Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Niech w zbiorze par liczb całkowitych ${\displaystyle (a,b)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ,}$ których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle ad=bc.}$

W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania

• ${\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)],}$
• ${\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)].}$

Parę ${\displaystyle (a,b)}$ zapisuje się zwykle w postaci ułamka ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}},}$ bądź jeśli ${\displaystyle b=1,}$ to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą ${\displaystyle a.}$

Własności

• W teorii mnogości mówi się, że liczby wymierne, tak jak całkowite, tworzą zbiór przeliczalny – są równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych^[1], co oznacza się ${\displaystyle \#\mathbb {Q} =\aleph _{0}}$^{[potrzebny przypis]}.
• W algebrze abstrakcyjnej mówi się, że liczby wymierne, tak jak całkowite, tworzą grupę przemienną z działaniem dodawania^[1]. Przy dołączeniu mnożenia liczby wymierne – w odróżnieniu od całkowitych – tworzą ciało^[1] i definiuje się nimi ciała liczbowe.
• Porządek liczb wymiernych nie jest ciągły.
• Każdą liczbę wymierną można zapisać jako skończony ułamek łańcuchowy (ciągły ułamek arytmetyczny) i jest to cecha, która je wyróżnia wśród liczb rzeczywistych^[4][5];
• Z perspektywy topologicznej liczby wymierne – jako podzbiór osi rzeczywistej ${\displaystyle \mathbb {R} }$ – są gęste w ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Dla wykazania tej własności wystarczy udowodnić, że dla każdych ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ,\;x<y}$ istnieje liczba wymierna ${\displaystyle u\in \mathbb {Q} ,\;x<u<y.}$

Dowód Gdyby ${\displaystyle x,y}$ były wymierne, to oczywiście ${\displaystyle u={\tfrac {x+y}{2}}}$ spełnia tezę. Niech więc choć jedno spośród ${\displaystyle x,y}$ jest niewymierne.

• Jeśli ${\displaystyle x<0<y,}$ to można przyjąć ${\displaystyle u=0.}$
• Jeśli ${\displaystyle 0=x<y,}$ to ponieważ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ jest ciałem archimedesowym, to wystarczy wskazać ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ takie, że ${\displaystyle n>{\tfrac {1}{y}},}$ czyli ${\displaystyle 0<{\tfrac {1}{n}}<y.}$
  Podobnie gdy ${\displaystyle x<y=0,}$ wskazujemy ${\displaystyle n>{\tfrac {1}{-x}}}$ i wówczas ${\displaystyle x<{\tfrac {1}{-n}}<0.}$
• Niech więc ${\displaystyle 0<x<y}$ i niech np. ${\displaystyle x}$ jest niewymierne.
  Dla pewnego ${\displaystyle q\in \mathbb {N} }$ zachodzi ${\displaystyle q>{\tfrac {1}{y-x}},}$ stąd ${\displaystyle 1<q(y-x).}$
  Z drugiej strony istnieje ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$ takie, że ${\displaystyle p>qx,}$ niech ${\displaystyle p_{0}}$ będzie najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Pokażemy, że ${\displaystyle qx<p_{0}<qx+1.}$ Rzeczywiście, gdyby ${\displaystyle p_{0}\geqslant qx+1,}$ to byłoby ${\displaystyle p_{0}-1\geqslant qx.}$ Ponieważ równość nie może zachodzić (liczba niewymierna nie może być liczbą naturalną), więc ${\displaystyle p_{0}-1>qx}$ wbrew temu, że ${\displaystyle p_{0}}$ jest najmniejszą liczbą wśród liczb naturalnych ${\displaystyle p}$ o własności ${\displaystyle p>qx.}$
  Ostatecznie ${\displaystyle qx<p_{0}<qx+1}$ łącznie z warunkiem ${\displaystyle 1<q(y-x)}$ daje

${\displaystyle qx<p_{0}<qx+q(y-x)=qy,}$

czyli

${\displaystyle x<{\frac {p_{0}}{q}}<y.}$

Jeśli ${\displaystyle y}$ jest niewymierne i ${\displaystyle x}$ wymierne, to wystarczy znaleźć ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ takie, że ${\displaystyle n>y}$ i znaleźć jak poprzednio ${\displaystyle u\in \mathbb {Q} }$ spełniające ${\displaystyle 0<n-y<u<n-x.}$ Wówczas ${\displaystyle n-u\in \mathbb {Q} }$ i ${\displaystyle x<n-u<y.}$

• Jeśli ${\displaystyle x<y<0,}$ to wystarczy znaleźć jak w poprzednim punkcie ${\displaystyle u\in \mathbb {Q} }$ spełniające ${\displaystyle 0<-y<u<-x}$ i wówczas ${\displaystyle x<-u<y.}$

Przypisy

Zobacz hasło liczba wymierna w Wikisłowniku

Linki zewnętrzne

• Tomasz Miller, Liczby całkowite i wymierne | Zacznijmy od zera #1, kanał Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych na YouTube, 5 stycznia 2021 [dostęp 2023-11-26].