バーチ・マーナハンの状態方程式

「マーナハンの状態方程式（英語版）」とは異なります。

バーチ・マーナハンの状態方程式（バーチ・マーナハンのじょうたいほうていしき、英: Birch–Murnaghan equation of state）は、1947年にハーバード大学のフランシス・バーチが発表した状態方程式である^[1]。等温過程における固体物質の受ける圧力と体積との間の関係を表わす。1944年にジョンズホプキンス大学のフランシス・ドミニク・マーナハン（英語版）が発表した方程式^[2]に基づいており、2人の名前を冠している。

表式

3次のバーチ・マーナハンの状態方程式は次のように書ける。

${\displaystyle P(V)={\frac {3B_{0}}{2}}\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{\frac {7}{3}}-\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{\frac {5}{3}}\right]\left\{1+{\frac {3}{4}}\left(B_{0}^{\prime }-4\right)\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}-1\right]\right\}}$

ここで、Pは圧力、V₀は参照体積、Vは変形体積、B₀は体積弾性率、B₀′は体積弾性率の圧力に対する微分である_。体積弾性率とその微分は次のように定義される量であり、通常は実験データから回帰により算出される。

${\displaystyle B_{0}=-V\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{P=0}}$

この式は、次式で表わされる自由エネルギーfを級数展開することにより得られる。

${\displaystyle B_{0}'=\left({\frac {\partial B}{\partial P}}\right)_{P=0}}$

${\displaystyle f={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {2}{3}}}-1\right]}$

内部エネルギーE(V)は、圧力を積分することにより求められる。

${\displaystyle E(V)=E_{0}+{\frac {9V_{0}B_{0}}{16}}\left\{\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}-1\right]^{3}B_{0}^{\prime }+\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}-1\right]^{2}\left[6-4\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{\frac {2}{3}}\right]\right\}.}$

関連項目

• フランシス・バーチ
• フランシス・ドミニク・マーナハン（英語版）
• マーナハンの状態方程式（英語版）

参考文献

表 話 編 歴 統計力学
統計集団	ミクロカノニカル カノニカル グランドカノニカル 等温定圧 等エンタルピー定圧
統計熱力学	特性状態関数（英語版）
分配関数	並進（英語版） 振動（英語版） 回転（英語版）
状態方程式	ディーテリチ ファンデルワールス/実在気体 理想気体の状態方程式 バーチ–マーナハン
エントロピー	ザックール–テトローデ方程式 ツァリス・エントロピー（英語版） フォン・ノイマンエントロピー
粒子統計	マクスウェル–ボルツマン統計 フェルミ–ディラック統計 ボース–アインシュタイン統計
統計的場の理論	共形場理論 オスターワルダー–シュレーダーの公理（英語版）
量子統計力学	密度行列 ギブズ測度（英語版） 分配関数 量子力学の位相空間形式（英語版） スレイター行列式
その他	確率分布 素粒子