Thales teoremi

Matematikçe

Geometride, Thales teoremi, A, B ve C, AC çizgisinin bir çap olduğu bir daire üzerinde farklı noktalar ise, ∠ABC açısının bir dik açı olduğunu belirtir. Thales teoremi, çevre açı teoreminin özel bir durumudur ve Öklid'in Elemanlar adlı eserinin üçüncü kitabında 31. önermenin bir parçası olarak bahsedilmiş ve kanıtlanmıştır.^[1] Genellikle, teoremin keşif için şükran kurbanı olarak bir öküz (muhtemelen tanrı Apollon'a) sunduğu söylenen Miletli Thales'e atfedilir, ancak bazen Pisagor'a da atfedilir.

Tarihçe

Antik Yunan'da yapılan çalışmalar, herhangi bir entelektüel yapıya dahil olan tüm bireylere saygı duyulmadan bilgeliğe sahip insanlara atfedilme eğilimindeydi - bu, özellikle Pisagor için geçerlidir. İlişkilendirme ise daha sonra ortaya çıkma eğilimindeydi.^[2] Thales'e atıf, Proclus tarafından yapılmıştır ve Diogenes Laërtius, Epidauroslu Pamphila'nın Thales'in^[3] "bir daireye dik açılı bir üçgen çizen ilk kişi olduğu" şeklindeki ifadesini belgelemiştir.

Hint ve Babilli matematikçiler, bunu Thales kanıtlamadan önce özel durumlar için biliyorlardı.^[4] Thales'in Babil'e yaptığı seyahatlerde yarım daire içine çizilmiş bir açının dik açı olduğunu öğrendiğine inanılıyor.^[5] Teoremin adı Thales'ten sonra verilmiştir. Çünkü eski kaynaklar vasıtasıyla Thales'in teoremi ilk kanıtlayan kişi olduğu, kendi sonuçlarını kullanarak bir ikizkenar üçgenin taban açılarının eşit olduğunu ve bir üçgendeki açıların toplamının 180°'ye eşit olduğunu söylediği bilinmektedir.

İspat

İlk ispat

Aşağıdaki gerçekler kullanılır: üçgenin iç açılarının toplamı 180°'ye eşittir ve bir ikizkenar üçgen'in taban açıları eşittir.

OA = OB = OC iken, ∆OBA ve ∆OBC ikizkenar üçgenlerdir ve bir ikizkenar üçgenin taban açılarının eşitliği ile ∠OBC = ∠OCB and ∠OBA = ∠OAB'dir.

α = ∠BAO ve β = ∠OBC olsun. ∆ABC üçgeninin üç iç açısı α, (α + β) ve β'dir. Bir üçgenin açılarının toplamı 180°'ye eşit olduğu için,

${\displaystyle \alpha +\left(\alpha +\beta \right)+\beta =180^{\circ }}$

${\displaystyle 2\alpha +2\beta =180^{\circ }}$

${\displaystyle 2(\alpha +\beta )=180^{\circ }}$

${\displaystyle \therefore \alpha +\beta =90^{\circ }.}$

Q.E.D.

İkinci ispat

Teorem, trigonometri kullanılarak da kanıtlanabilir: ${\displaystyle O=(0,0)}$, ${\displaystyle A=(-1,0)}$ ve ${\displaystyle C=(1,0)}$. O halde B, ${\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )}$ birim çember üzerindeki bir noktadır. AB ve BC'nin dik olduğunu, yani eğimlerinin çarpımının -1'e eşit olduğunu kanıtlayarak ∆ABC'nin dik açı oluşturduğunu göstereceğiz. AB ve BC için eğimleri hesaplıyoruz:

${\displaystyle m_{AB}={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}}$

ve

${\displaystyle m_{BC}={\frac {y_{B}-y_{C}}{x_{B}-x_{C}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}}$

Ardından, çarpımlarının -1'e eşit olduğunu gösteriyoruz:

${\displaystyle {\begin{aligned}&m_{AB}\cdot m_{BC}\\[8pt]={}&{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\cdot {\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}\\[8pt]={}&{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta -1}}\\[8pt]={}&{\frac {\sin ^{2}\theta }{-\sin ^{2}\theta }}\\[8pt]={}&{-1}\end{aligned}}}$

Pisagor'un trigonometrik özdeşliğinin kullanımına dikkat edin; ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$.

Üçüncü İspat

${\displaystyle ABC}$, ${\displaystyle AB}$'nin bu çemberdeki çap olduğu bir daire içindeki bir üçgen olsun. Ardından ${\displaystyle AB}$ çizgisi üzerinde ${\displaystyle ABC}$ üçgenini aynalayarak ve ardından dairenin merkezinden geçen ${\displaystyle AB}$'ye dik olan çizginin üzerinden tekrar aynalayarak yeni bir üçgen ${\displaystyle ABD}$ oluşturalım. ${\displaystyle AC}$ ve ${\displaystyle BD}$ çizgileri paralel olduğundan, ${\displaystyle AD}$ ve ${\displaystyle CB}$ için benzer şekilde, dörtgen ${\displaystyle ABCD}$ bir paralelkenardır. ${\displaystyle AB}$ ve ${\displaystyle CD}$ çizgilerinin her ikisi de dairenin çapı olduğundan ve bu nedenle eşit uzunlukta olduklarından, paralelkenar bir dikdörtgen olmalıdır. Bir dikdörtgendeki tüm açılar dik açılardır.

Tersi

Herhangi bir üçgen ve özellikle herhangi bir dik üçgen için, üçgenin üç köşesini de içeren tam olarak bir daire vardır. (İspat taslağı: Verilen iki noktaya eşit uzaklıkta olan noktaların konumu, noktaları birleştiren doğru parçasının dik açıortayları olarak adlandırılan düz bir çizgidir. Bir üçgenin herhangi iki kenarının dikey açıortayları tam olarak bir noktada kesişir. Bu nokta üçgenin köşelerine eşit uzaklıkta olmalıdır.) Bu daireye üçgenin çevrel çemberi denir.

Thales teoremini formüle etmenin bir yolu şudur: bir üçgenin çevrel çemberinin merkezi üçgenin üzerindeyse, o zaman üçgen diktir ve çemberinin merkezi onun hipotenüsü üzerinde yer alır.

O zaman Thales teoreminin tersi şudur: Bir dik üçgenin çevrel çemberinin merkezi hipotenüsü üzerinde yer alır. (Aynı şekilde, bir dik üçgenin hipotenüsü, çevrel çemberinin çapıdır.)

Geometri kullanarak tersinin kanıtı

Bu ispat, bir dikdörtgen oluşturmak için dik üçgeni 'tamamlamaktan' ve bu dikdörtgenin merkezinin köşelerden eşit uzaklıkta olduğunu ve dolayısıyla orijinal üçgenin çevrel çemberinin merkezinin olduğunu fark etmekten oluşur, iki olguyu kullanır:

• bir paralelkenardaki komşu açılar tamamlayıcıdır (180°'ye tamamlar) ve,
• bir dikdörtgenin köşegenleri eşittir ve orta noktalarında birbirini keser.

∠ABC dik açı, r A'dan geçen ve BC'ye paralel bir doğru, s C'den geçen AB'ye paralel bir doğru olsun. D, r ve s doğrularının kesişme noktası olsun (D'nin çember üzerinde olduğu kanıtlanmamıştır.)

Dörtgen ABCD, yapı gereği bir paralelkenar oluşturur (zıt kenarlar paralel olduğundan). Paralelkenarda bitişik açılar tamamlayıcı olduğundan (180°'ye tamamlar) ve ∠ABC bir dik açı (90°) olduğundan, ∠BAD, ∠BCD ve ∠ADC açıları da diktir (90°); dolayısıyla ABCD bir dikdörtgendir.

AC ve BD köşegenlerinin kesişme noktası O olsun. O halde, yukarıdaki ikinci gerçekle O noktası, A, B ve C'den eşit uzaklıktadır. Ve böylece O, çevrel çemberin merkezidir ve üçgenin hipotenüsü ( AC), çemberin çapıdır.

Geometri kullanarak tersinin kanıtının alternatifi

Hipotenüsü AC olan bir dik üçgen ABC verildiğinde, çapı AC olan bir Ω çemberi oluşturulsun. O Ω'nin merkezi olsun. D Ω ve OB ışınının kesişim noktası olsun. Thales teoremine göre, ∠ ADC doğrudur. Ama sonra D, B'ye eşit olmalıdır. (D ∆ABC içinde bulunuyorsa, ∠ ADC geniş açı olur ve D ∆ ABC dışında ise, ∠ ADC dar açı olacaktır.)

Doğrusal cebir kullanarak tersinin kanıtı

Bu kanıt iki gerçeği kullanır:

• iki çizgi, ancak ve ancak yön vektörlerinin iç çarpımı sıfırsa bir dik açı oluşturur ve
• bir vektörün uzunluğunun karesi, vektörün kendi iç çarpımı ile verilir.

∠ABC dik açı ve çapı AC olan M çemberi olsun. Daha kolay hesaplama için M'nin merkezi orijin üzerinde olsun. O zaman biliyoruz ki;

• A = −C, çünkü başlangıç noktasına ortalanmış dairenin çapı AC'dir ve
• (A − B) · (B − C) = 0, çünkü ∠ABC bir dik açıdır.

Buradan,

0 = (A − B) · (B − C) = (A − B) · (B + A) = |A|² − |B|².

Dolayısıyla:

|A| = |B|.

Bu, A ve Bnin orijinden, yani Mnin merkezinden eşit uzaklıkta olduğu anlamına gelir. A, Mnin üzerinde olduğu için, B de öyledir ve bu nedenle M çemberi üçgenin çevrel çemberidir.

Aslında yukarıdaki hesaplamalar, Thales teoreminin her iki yönünün de herhangi bir iç çarpım uzayı için geçerli olduğunu ortaya koymaktadır.

Genellemeler ve ilgili sonuçlar

Thales teoremi, aşağıdaki teoremin özel bir durumudur:

Merkezi O olan bir çember üzerinde A, B ve C olmak üzere üç nokta verildiğinde, AOC açısı ∠ABC açısının iki katıdır.

Bakınız çevre açı, bu teoremin ispatı, yukarıda verilen Thales teoreminin ispatına oldukça benzer.

Thales teoremine ilişkin bir sonuç şudur:

• AC bir dairenin çapıysa, o zaman:

* B çemberin içindeyse, ∠ABC > 90°

* B daire üzerindeyse, ∠ABC = 90°

* B dairenin dışındaysa, ∠ABC <90°.

Uygulama

Thales teoremi, belirli bir noktadan geçen belirli bir daireye teğet çizmek için kullanılabilir. Sağdaki şekilde, O merkezi ve k dışında P noktası olan k çemberi, H'de OP'yi ikiye bölen ve merkezi H olan OH yarıçaplı daireyi çizin. OP bu çemberin çapıdır, dolayısıyla OP'yi çemberlerin kesiştiği T ve T' noktalarına bağlayan üçgenlerin ikisi de dik üçgenlerdir.

Thales teoremi, bir dairenin merkezini, örneğin bir kare veya daireden daha büyük bir dikdörtgen kağıt parçası gibi dik açılı bir nesne kullanarak bulmak için de kullanılabilir.^[6] Açı, çevresinde herhangi bir yere yerleştirilir (şekil 1). İki tarafın çevre ile kesişme noktaları bir çapı tanımlar (şekil 2). Bunu farklı bir kesişim kümesiyle tekrarlamak başka bir çap verir (şekil 3). Merkez ise çapların kesişme noktasındadır.

Notlar

Kaynakça

• Agricola, Ilka; Friedrich, Thomas (2008). Elementary Geometry. AMS. s. 50. ISBN 0-8218-4347-8.  (Google Kitaplar'da restricted online copy, s. 50,)
• Heath, T.L. (1921). A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid. I. Oxford. ss. 131ff. 

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Thales' Theorem (MathWorld)
• Munching on Inscribed Angles27 Kasım 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Thales's theorem explained23 Ekim 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., with interactive animation
• Demos of Thales's theorem13 Kasım 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. by Michael Schreiber, The Wolfram Demonstrations Project.