Kramers-Kronig ilişkileri

Kramers-Kronig ilişkisinin illüstrasyonu. Bu örnekte bir malzemenin elektriksel duyarlılık fonksiyonunun reel kısmı bilinen sanal kısmından türetilmektedir.

Karmaşık analiz ve fizikte Kramers-Kronig ilişkileri, üst yarı düzlemde analitik olan herhangi bir karmaşık fonksiyonun reel ve sanal kısımlarını iki yönlü bir şekilde ilişkilendirir.[1] Bu ilişkiler genellikle doğrusal fiziksel sistemlerin tepki fonksiyonlarının reel kısmı aracılığıyla sanal kısmının elde edilmesinde kullanılır; aynı şekilde sanal kısım aracılığı ile reel kısım da bu şekilde elde edilebilir. Bu ilişkiler, stabil fiziksel sistemlerdeki nedenselliği belirtir.[2] Bu ilişkiler ismini fizikçiler Hendrik Anthony Kramers ile Ralph Kronig'den almaktadır.[3][4]

Üst yarı düzlemde analitik bir karmaşık fonksiyon χ ( ω ) = χ 1 ( ω ) + i χ 2 ( ω ) {\displaystyle \chi (\omega )=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )} şeklinde yazılabilir; burada χ 1 ( ω ) {\displaystyle \chi _{1}(\omega )} ve χ 2 ( ω ) {\displaystyle \chi _{2}(\omega )} reel fonksiyonlardır. Bu durumda bu iki fonksiyon

χ 1 ( ω ) = 1 π P ∫ − ∞ ∞ χ 2 ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ {\displaystyle \chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '}

ve

χ 2 ( ω ) = − 1 π P ∫ − ∞ ∞ χ 1 ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ , {\displaystyle \chi _{2}(\omega )=-{1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi _{1}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega ',}
Üst yarı düzlemdeki integral kontürü

şeklinde ilişkilendirilebilir. Bu ilişkilerde P {\displaystyle {\mathcal {P}}} Cauchy temel değerine, ω {\displaystyle \omega } ise açısal frekansa denk gelmektedir. İlişkiler üst yarı düzlemdeki bir yarım çember kontürüne kalıntı teoreminin uygulanması ile türetilebilir.[5]

Elektromanyetizma ve optikte Kramers-Kronig ilişkileri malzemelerin karmaşık kırılma indislerinin hesaplanmasında sıklıkla kullanılmaktadır. Kayıplı bir malzemenin karmaşık kırılma indisi n ~ = n + i κ {\displaystyle {\tilde {n}}=n+i\kappa } şeklinde ifade edilebilir; bu formülde κ {\displaystyle \kappa } malzemenin kayıp katsayısıdır.[6] Bu ilişkiler malzemelerin yalıtkanlık sabitlerine ve elektriksel duyarlılıklarda da uygulanabilmektedir.[7]

Ayrıca bakınız

Kaynakça

  1. ^ Paschotta, Rüdiger. "Kramers–Kronig Relations". rp-photonics.com. 3 Ocak 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Nisan 2021. 
  2. ^ Toll, John S. (1956). "Causality and the Dispersion Relation: Logical Foundations". Physical Review (İngilizce). 104 (6): 1760-1770. Bibcode:1956PhRv..104.1760T. doi:10.1103/PhysRev.104.1760. 
  3. ^ H. A. Kramers (1927). "La diffusion de la lumière par les atomes". Atti Cong. Intern. Fisici, (Transactions of Volta Centenary Congress) Como (Fransızca). 2: 545-557. 
  4. ^ Kronig, R. de L. (1926). "On the theory of the dispersion of X-rays". J. Opt. Soc. Am. (İngilizce). 12 (6): 547-557. doi:10.1364/JOSA.12.000547. 
  5. ^ G. Arfken (1985). Mathematical Methods for Physicists (İngilizce). Orlando: Academic Press. ISBN 0-12-059877-9. 
  6. ^ Fox, Mark (2010). Optical Properties of Solids (İngilizce) (2 bas.). Oxford University Press. s. 44-46. ISBN 978-0199573370. 22 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Nisan 2021. 
  7. ^ Orfanidis, Sophocles J. (2016). Electromagnetic Waves and Antennas (İngilizce). s. 27-29. 12 Nisan 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Nisan 2021. 
Taslak simgesiOptik ile ilgili bu madde taslak seviyesindedir. Madde içeriğini genişleterek Vikipedi'ye katkı sağlayabilirsiniz.
Taslak simgesiMatematik ile ilgili bu madde taslak seviyesindedir. Madde içeriğini genişleterek Vikipedi'ye katkı sağlayabilirsiniz.