Brocard noktaları

Üç çemberin kesişim noktasında oluşturulmuş, bir üçgene ait Brocard noktası.

Brocard noktaları, geometride bir üçgen içinde yer alan özel noktalardır. Fransız matematikçi Henri Brocard'ın çalışmalarından dolayı bu adı almıştır.

Tanım

Kenarları a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} ve c {\displaystyle c} , köşeleri saat yönünün tersine doğru A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} ve C {\displaystyle C} olarak adlandırılmış bir △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} üçgeninde, A P {\displaystyle AP} , B P {\displaystyle BP} ve C P {\displaystyle CP} sırasıyla c {\displaystyle c} , a {\displaystyle a} ve b {\displaystyle b} kenarlarıyla eşit ω {\displaystyle \omega } açısı yapacak şekilde bir P {\displaystyle P} noktası bulunur.

∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A . {\displaystyle \angle PAB=\angle PBC=\angle PCA.\,}

Bu P {\displaystyle P} noktasına △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} üçgeninin birinci Brocard noktası ve ω {\displaystyle \omega } açısına üçgenin Brocard açısı denir. Bu açı şu denklemi sağlar:

cot ⁡ ω = cot ⁡ α + cot ⁡ β + cot ⁡ γ . {\displaystyle \cot \omega =\cot \alpha +\cot \beta +\cot \gamma .\,}

△ A B C {\displaystyle \triangle ABC} üçgeninde A Q {\displaystyle AQ} , B Q {\displaystyle BQ} ve C Q {\displaystyle CQ} doğru parçalarının sırasıyla b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} ve a {\displaystyle a} kenarlarıyla eşit açı yapması şartını sağlayan bir Q {\displaystyle Q} , ikinci Brocard noktası, bulunur. Diğer bir deyişle

∠ Q C B = ∠ Q B A = ∠ Q A C {\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC}

denklemi bu nokta için de geçerlidir. Dikkat çekici biçimde, bu ikinci Brocard noktası ile birinci Brocard noktası aynı Brocard açısına sahiptir. Yani

∠ P B C = ∠ P C A = ∠ P A B {\displaystyle \angle PBC=\angle PCA=\angle PAB}

ve

∠ Q C B = ∠ Q B A = ∠ Q A C {\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC}

birbirine eşittir.

İki Brocard noktası arasında yakın ilişki vardır; aslında ikisi arasındaki fark △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} üçgeninin açılarının hangi sırayla seçildiğine bağlıdır. Örnek verilirse, △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} üçgeninin birinci Brocard noktası, △ A C B {\displaystyle \triangle ACB} üçgeninin ikinci Brocard noktasıdır.

△ A B C {\displaystyle \triangle ABC} üçgeninin iki Brocard noktası birbirinin izogonal eşleniğidir.

Elde edilmesi

Brocard noktalarını oluşturmanın en iyi yolu için şöyle denebilir. Verilecek örnekte sadece birinci Brocard noktası ele alınacak ancak ikinci Brocard noktasını bulmak buna çok benzerdir.

A {\displaystyle A} ile B {\displaystyle B} noktalarından geçen, üçgenin B C {\displaystyle BC} kenarına teğet bir çember (bu çemberin merkezi A B {\displaystyle AB} 'nin orta dikmesi ile B {\displaystyle B} noktasından B C {\displaystyle BC} 'ye dik olarak çizilecek doğrunun kesişim noktası olacaktır) oluşturulur. Simetrik olarak, B {\displaystyle B} ile C {\displaystyle C} noktalarından geçen, A C {\displaystyle AC} kenarına teğet ve A {\displaystyle A} ile C {\displaystyle C} noktalarından geçen, A B {\displaystyle AB} kenarına teğet çemberler çizilir. Bu üç çemberin ortak tek noktası, △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} üçgeninin birinci Brocard noktasıdır.

İkinci Brocard noktası aynı yöntemle tespit edilebilir.

Kaynakça

  • Akopyan, A. V.; Zaslavsky, A. A. (2007), Geometry of Conics, Mathematical World, 26, American Mathematical Society, ss. 48-52, ISBN 978-08218-4323-9 .
  • Honsberger, Ross (1995), "Chapter 10. The Brocard Points", Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, Washington, D.C.: The Mathematical Association of America .

Dış bağlantılar

  • Eric W. Weisstein, Üçüncü Brocard Noktası (MathWorld)