Altın üçgen

Bir altın üçgen. Kenarların birbirine bölümü altın oran φ'ye eşittir.

Altın üçgen, eş kenarlarının diğer kenara oranı φ'ye, altın oran, eşit olan ikizkenar üçgen.

φ = 1 + 5 2 . {\displaystyle \varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}.}

Altın üçgenlere dodekahedronlarda, ikozahedronlarda ve ayrıca pentegramlarda rastlanabilir.

Üçgenin tepe açısı

θ = cos − 1 ⁡ ( φ 2 ) = π 5 = 36 ∘ . {\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left({\varphi \over 2}\right)={\pi \over 5}=36^{\circ }.}

İç açılar toplamı 180° olacağından, taban açıları eşit ve 72°'dir.[1] Altın üçgen bir ongende, birbirine takip eden iki köşeyi merkeze birleştirerek de oluşturulabilir. Çünkü bu durumda ongenin 180x(10-2)/10=144 derecelik iç açısı, merkeze çizilen doğruyla ikiye bölünecek ve 144/2=72'lik taban açılarına sahip altın üçgen oluşacaktır.[1]

Altın üçgen, iç açıları 2:2:1 ile orantılı tek üçgendir.[2]

Logaritmik spiral

Logaritmik spiralle çevrelenmiş altın üçgenler

Altın üçgenle logaritmik spiral elde edilebilir. Taban açılarının açıortayları çizilirse, oluşacak kesişim noktasıyla beraber, yeni bir altın üçgen oluşur.[3] Bu adım sonsuz defa tekrarlanırsa sonsuz sayıda altın üçgen ortaya çıkar. Bu üçgenlerin köşelerinden geçecek şekilde bir logaritmik spiral çizilebilir. Spiral, Rene Descartes tarafından adlandırıldığı şekliyle, eşaçılı spiral olarak da bilinir.[4]

Sanatta altın üçgen

Bülent Atalay, Matematik ve Mona Lisa adlı kitabında Mona Lisa'da altın üçgenlerin görülebileceğini belirtmiştir.[5]

Ayrıca bakınız

Dış bağlantılar

  • Altın üçgen maddesi 3 Ocak 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Wolfram MathWorld (İngilizce)

Kaynakça

  1. ^ a b Elam, Kimberly (2001). Geometry of Design. New York: Princeton Architectural Press. ISBN 1-568-98249-6. 
  2. ^ Tilings Encyclopedia. 1970. 24 Mayıs 2009 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 12 Eylül 2011.  Yazar |ad1= eksik |soyadı1= (yardım)
  3. ^ Huntley, H.E. (1970). The Divine Proportion: A Study In Mathematical Beauty. New York: Dover Publications Inc. ISBN 0-486-22254-3. 26 Eylül 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 12 Eylül 2011. 
  4. ^ Livio, Mario (2002). The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books. ISBN 0-7679-0815-5. 22 Temmuz 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 12 Eylül 2011. 
  5. ^ Atalay, Bulent (2004). Matematik ve Mona Lisa: Leonardo da Vinci’nin Sanatı ve Bilimi. İstanbul: Albatros Kitap. ISBN 9759067064. 14 Şubat 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 12 Eylül 2011.