İkinci dereceden denklemler

İkinci dereceden denklemler, derecesi 2 olan polinomların oluşturduğu denklemlerdir. Bu denklemlerin genel formu aşağıdaki gibidir

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\,}$

x değişken yani bilinmeyendir ve a, b katsayılar (a ≠ 0 şartıyla), c ise sabit sayıdır. Bu denklemler çarpanlara ayırma, kareye tamamlama ve diskriminant yöntemleri ile çözülürler.

Çarpanlara ayırma

Bu yöntem, denklem kolayca çarpanlarına ayrılabiliyorsa tercih edilir. Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek kökler bulunur. Örneğin

${\displaystyle x^{2}-8x+12=0}$

denkleminde çarpımları 12, toplamları -8 olan sayılar bulunur. Bu sayılar -6 ve -2 dir. Denklem şu şekilde yeniden yazılır:

${\displaystyle (x-6)(x-2)=0}$.

Buradan x=6 ve x=2 bulunur.

Kareye tamamlama ve diskriminant

Bu yöntemi anlamak için aşağıdaki eşitliği bilmek gerekir,

${\displaystyle x^{2}+2xh+h^{2}=(x+h)^{2}.\,\!}$

Denklemimiz şu şekildeydi

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,\!}$

x²'nin katsayısını 1 yapmak için denklemi a'ya bölelim (ilk başta a≠0 aldığımız için bu işlem yapılabilir)

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0,\,\!}$

ya da

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}.}$

Kareye tamamlamak için ortadaki terimin katsayısının yarısının karesi sabit sayıyı oluşturmalıdır. Bu yüzden her iki tarafa gereken ifadeyi ekleyelim

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {1}{2}}{\frac {b}{a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {1}{2}}{\frac {b}{a}}\right)^{2},\!}$

şimdi sol taraf kare şeklinde yazılmaya hazır

${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}.\,\!}$

Şimdi sağ tarafın paydasını eşitleyelim

${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.}$

Her iki tarafın da karekökünü alalım. Karekökün özelliğinden dolayı ifade ± şeklinde çıkar

${\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}.}$

x'i çekersek

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.}$ elde edilir.

Diskriminant

Yukarıda bulunan ifadedeki ${\displaystyle b^{2}-4ac}$'ye denklemin diskriminantı ya da deltası denir. Diskriminant denklem hakkında fikir edinmemizi sağlar

${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.\,}$

Eğer,

${\displaystyle \Delta >0}$ ise denklemin iki gerçek kökü vardır.

${\displaystyle \Delta <0}$ ise gerçek kök yoktur, karmaşık kök vardır.

${\displaystyle \Delta =0}$ ise tek bir gerçek kök denir, kimi zaman buna çift katlı kök de denir.