Ramanujan–Nagells ekvation

Inom talteori är Ramanujan–Nagells ekvation en viss diofantisk ekvation uppkallad efter Srinivasa Ramanujan och Tryggve Nagell.

Ekvationen och dess lösning

Ekvationen är

2 n − 7 = x 2 {\displaystyle 2^{n}-7=x^{2}\,}

och den har lösningar i naturliga tal n och x endast då n = 3, 4, 5, 7 och 15.

Detta förmodades 1913 av den indiska matematikern Srinivasa Ramanujan och oberoende av honom 1943 av den norska matematikern Wilhelm Ljunggren, och bevisades av den norska matematikern Trygve Nagell 1948.

Triangulära Mersennetal

Problemet att hitta alla tal av formen 2b − 1 (Mersennetal) som är triangeltal är ekvivalent med att lösa Ramanujan-Nagells ekvation:

2 b − 1 = y ( y + 1 ) 2 {\displaystyle 2^{b}-1={\frac {y(y+1)}{2}}}
⇔ 8 ( 2 b − 1 ) = 4 y ( y + 1 ) {\displaystyle \Leftrightarrow 8(2^{b}-1)=4y(y+1)}
⇔ 2 b + 3 − 8 = 4 y 2 + 4 y {\displaystyle \Leftrightarrow 2^{b+3}-8=4y^{2}+4y}
⇔ 2 b + 3 − 7 = 4 y 2 + 4 y + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow 2^{b+3}-7=4y^{2}+4y+1}
⇔ 2 b + 3 − 7 = ( 2 y + 1 ) 2 . {\displaystyle \Leftrightarrow 2^{b+3}-7=(2y+1)^{2}.}

Värdena av b är värdena av n − 3, och de triangulära Mersennetalen är alltså:

y ( y + 1 ) 2 = ( x − 1 ) ( x + 1 ) 8 {\displaystyle {\frac {y(y+1)}{2}}={\frac {(x-1)(x+1)}{8}}}

för x = 1, 3, 5, 11 och 181, som ger 0, 1, 3, 15, 4095 och inga andra tal (talföljd A076046 i OEIS).

Ekvationer av Ramanujan–Nagell-typ

En ekvation av formen

x 2 + D = A B n {\displaystyle x^{2}+D=AB^{n}}

för fixerade D, A , B och variabler x, n sägs vara av Ramanujan–Nagell-typ. Det följer av ett resultat av Siegel att antalet lösningar av vilken som helst sådan ekvation är ändligt.case is finite.

Ekvationer av Lebesgue–Nagell-typ

En ekvation av formen

x 2 + D = A y n {\displaystyle x^{2}+D=Ay^{n}}

för fixerade D, A och variabler x, y, n sägs vara av Lebesgue–Nagell-typ. Från resultat av Shorey och Tijdeman följer det att antalet lösningar v en sådan ekvation alltid är ändligt.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Ramanujan–Nagell equation, 22 december 2013.
  • S. Ramanujan (1913). ”Question 464”. J. Indian Math. Soc. 5: sid. 130. 
  • W. Ljunggren (1943). ”Oppgave nr 2”. Norsk Mat. Tidsskr. 25: sid. 29. 
  • T. Nagell (1948). ”Løsning till oppgave nr 2”. Norsk Mat. Tidsskr. 30: sid. 62–64. 
  • T. Nagell (1961). ”The Diophantine equation x2+7=2n”. Ark. Mat. 30: sid. 185–187. doi:10.1007/BF02592006. 
  • Shorey, T.N.; Tijdeman, R. (1986). Exponential Diophantine equations. Cambridge Tracts in Mathematics. "87". Cambridge University Press. sid. 137–138. ISBN 0-521-26826-5 
  • Saradha, N.; Srinivasan, Anitha (2008). ”Generalized Lebesgue–Ramanujan–Nagell equations”. i Saradha, N.. Diophantine Equations. Narosa. sid. 207–223. ISBN 978-81-7319-898-4 

Externa länkar

  • ”Values of X corresponding to N in the Ramanujan–Nagell Equation”. Wolfram MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/RamanujansSquareEquation.html. Läst 8 maj 2012. 
  • Can N2 + N + 2 Be A Power Of 2?, Math Forum discussion