Hardy–Ramanujans sats

Inom matematiken är Hardy–Ramanujans sats, bevisad av Ramanujan och Hardy 1917, en sats som säger att den normala ordningen av antalet ω(n) av olika primtalsfaktorer av n är log(log(n)). En mer exakt form av satsen säger att för en godtycklig reellvärd funktion ψ(n) som närmar sig oändlighet då n närmar sig oändlighet är

| ω ( n ) log ( log ( n ) ) | < ψ ( n ) log ( log ( n ) ) {\displaystyle |\omega (n)-\log(\log(n))|<\psi (n){\sqrt {\log(\log(n))}}}

eller mer traditionellt

| ω ( n ) log ( log ( n ) ) | < ( log ( log ( n ) ) ) 1 2 + ε {\displaystyle |\omega (n)-\log(\log(n))|<{(\log(\log(n)))}^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }}

för nästan alla heltal.

Ett enkelt bevis av resultatet gavs av Pál Turán 1934, som bevisade att

n x | ω ( n ) log log n | 2 x log log x   . {\displaystyle \sum _{n\leq x}|\omega (n)-\log \log n|^{2}\ll x\log \log x\ .}

Samma resultat gäller för Ω(n), totala antalet primtalsfaktorer av n.

Se även

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Hardy–Ramanujan theorem, 28 januari 2014.

Källor

  • Hardy, G. H.; Ramanujan, S. (1917), ”The normal number of prime factors of a number n”, Quarterly Journal of Mathematics 48: 76–92, http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/CamUnivCpapers/Cpaper35/page1.htm 
  • Kuo, Wentang; Liu, Yu-Ru (2008), ”The Erdős–Kac theorem and its generalizations”, i De Koninck, Jean-Marie; Granville, Andrew; Luca, Florian, Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13–17, 2006, CRM Proceedings and Lecture Notes, "46", Providence, RI: American Mathematical Society, s. 209–216, ISBN 978-0-8218-4406-9 
  • Turán, Pál (1934), ”On a theorem of Hardy and Ramanujan”, Journal of the London Mathematical Society 9: 274–276, ISSN 0024-6107 
  • Hildebrand, A. (2001), ”Hardy–Ramanujans sats”, i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104