Zlatni trougao

U matematici zlatni trougao je jednakokraki trougao kome je omjer dužine kraka i dužine osnovice jednak zlatnom broju.^[1]

${\displaystyle {a \over b}=\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}.}$

${\displaystyle \Theta =2sin^{-1}({\frac {b}{2a}})=2sin^{-1}({\frac {b}{2\varphi }}={\frac {\pi }{5}}}$

Može se naći  unutar pravilnog  Ikosaedra, dodekaedra i petougla, pentagrama, desetougla..

${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left({\varphi \over 2}\right)={\pi \over 5}=36^{\circ }.}$

Kako je zbir uglova trougla 180^o, to su uglovi na osnovici zlatnog trougla po 72^o.

To je jedini trougao kod koga se uglovi nalaze u omjeru ${\displaystyle 2:2:1.}$

${\displaystyle a:b={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

Sa slike je

${\displaystyle sin({\frac {\alpha }{2}})={\frac {\frac {a}{2}}{b}}={\frac {1}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}=sin({\frac {\pi }{10}})}$

Iz ovog slijedi da je

${\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}={\frac {\pi }{10}}=>\alpha ={\frac {\pi }{5}}=>\alpha =36^{o}}$

Pomoću ovog trougla crta se logaritamska spirala

Svi zlatni trouglovi su slični. To proizlazi iz stava U-U-U o sličnosti trouglova.

Omjer poluprečnika pravilnom desetetouglu opisane kružnice i dužine stranice toga desetougla jednak je zlatnom broju.

${\displaystyle R={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}a}$

Zlatni trougao nalazimo i unutar pravilnog petougla

${\displaystyle S_{5}=(5-2)180^{o}=540^{o}}$

${\displaystyle \gamma =540^{o}/5=108^{o}}$

${\displaystyle \delta =(08^{o}-\gamma )/2=36^{o}}$

${\displaystyle \beta +\delta =108^{o}=>\beta =72^{o}}$

Zlatni gnomom je jednakokraki trougao kome je omjer dužine kraka i dužine osnovice jednak ${\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1}$.Njegovi uglovi su ${\displaystyle 36^{o},36^{o},108^{o}}$^[2]

Reference

1. ↑ Golden Triangle
2. ↑ Golden Gnomon