Samosličnost

Kochova krivulja manifestira beskonačno ponavljajuću samosličnost prilikom povećavanja.

U matematici, samosličan objekt je točno ili aproksimativno sličan dijelu sebe, tj. cjelina ima isti oblik kao jedan ili više dijelova. Mnogi su objekti iz stvarnog svijeta, poput linije obale, statistički samoslični: njihovi dijelovi pokazuju ista statistička svojstva na raznim skalama[1]. Samosličnost je tipično svojstvo fraktala.

Invarijantnost skale je točan oblik samosličnosti gdje za svako povećanje postoji manji djelić objekta koji je sličan cjelini. Primjerice, strana Kochove krivulje je i simetrična i skalno invarijantna - može biti kontinuirano povećana 3 puta bez promjene oblika.

Definicija

A kompaktni topološki prostor X je samosličan ako postoji konačni skup S koji indeksira ne-surjektivne homeomorfizme { f s } s ∈ S {\displaystyle \{f_{s}\}_{s\in S}} za koje

X = ∪ s ∈ S f s ( X ) {\displaystyle X=\cup _{s\in S}f_{s}(X)}

Ako je X ⊂ Y {\displaystyle X\subset Y} , tada X zovemo samosličnim ako je on jedini neprazni podskup od Y takav da je gornja jednadžba zadovoljena za { f s } s ∈ S {\displaystyle \{f_{s}\}_{s\in S}} .

L = ( X , S , { f s } s ∈ S ) {\displaystyle {\mathfrak {L}}=(X,S,\{f_{s}\}_{s\in S})}

zovemo samosličnom strukturom. Homeomorfizmi mogu biti iterirani, što rezultira sustavom iterirane funkcije. Kompozicija funkcija stvara algebarsku strukturu poznatu kao monoid. Kad skup S ima svega dva elementa, monoid je poznat kao diadički monoid. Diadički monoid može biti vizualiziran kao beskonačno binarno stablo - općenitije, ako skup S ima p elemenata, monoid može biti predstavljen p-adičkim stablom.

Automorfizam diadičkog monoida je modularna grupa - automorfizmi mogu biti naslikani kao hiperbolne rotacije binarnog stabla.

Primjeri

Slika paprati koja manifestira afinu samosličnost.

Samosličnost također igra važnu ulogu u dizajnu računalnih mreža, s obzirom da tipičan mrežni promet ima samoslična svojstva. Primjerice, u telekomunikacijskom inženjerstvu, paketno preklopljeni uzorci prometa su naizgled statistički samoslični.[2]. Ovo svojstvo znači da su jednostavni modeli koji koriste Poissonovu raspodjelu netočni, te da će mreže dizajnirane ne uzimajući u obzir samosličnost vrlo vjerojatno davati neočekivano ponašanje.

Vidjeti također

  • Droste učinak
  • Samoreferenciranje
  • Zipfsov zakon

Izvori

  1. ↑ Benoît Mandelbrot, How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension
  2. ↑ Leland et al. "On the self-similar nature of Ethernet traffic", IEEE/ACM Transactions on Networking, Volume 2, Issue 1 (February 1994)
  • "Copperplate Chevrons" - film zumiranja samosličnog fraktala