Teorema lui Thales (cerc)

Teorema lui Thales (cerc) : dacă AC este diametrul, atunci unghiul B este unghi drept. Unghiurile α sunt subliniate cu roz, iar β cu verde

Teorema lui Thales pentru puncte de pe un cerc afirmă că dacă oricare trei puncte A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} și C {\displaystyle C} sunt puncte situate pe un cerc (conciclice) pentru care coarda A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} este diametru, atunci unghiul ∠ A B C {\displaystyle \angle {ABC}} format de punctul B cu punctele diametral opuse este drept.

Demonstrație

Fie O {\displaystyle O} centrul cercului. Întrucât O A ¯ = O B ¯ = O C ¯ {\displaystyle {\overline {OA}}={\overline {OB}}={\overline {OC}}} , triunghiurile Δ O B C {\displaystyle \Delta {OBC}} și Δ O A B {\displaystyle \Delta {OAB}} sunt isoscele existând deci perechi de unghiuri congruente
∠ O A B = ∠ O B A =: α {\displaystyle \angle {OAB}=\angle {OBA}=:\alpha }   și       ∠ O B C = ∠ O C B =: β {\displaystyle ~~\angle {OBC}=\angle {OCB}=:\beta } .

Atunci unghiul B se poate scrie ca sumă
B ^ = α + β = A ^ + C ^ {\displaystyle {\widehat {B}}=\alpha +\beta ={\widehat {A}}+{\widehat {C}}}

Dublul măsurii unghiurilor egale ale oricăror triunghiuri isoscele formate de raza OB e egal cu unghiurile externe de pe diametrul AC, din suma unghiurilor oricărui triunghi. Unghiurile formate de o parte a diametrului AC de raza OB sunt suplementare, suma lor constituind unghiul alungit, de măsură două unghiuri drepte.

Se obține că unghiurile A și C sunt complementare, așadar unghiul B este suma a două unghiuri complementare.

Teorema reciprocă

Locul geometric al punctelor din are A și C se văd sub același unghi drept este un cerc cu diametrul AC
„Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este diametrul cercului său circumscris.”

Teorema împreună cu teorema reciprocă ei pot fi comasate într-un singur enunț:

„Centrul unui cerc circumscris unui triunghi se află pe una dintre laturile triunghiului dacă și numai dacă triunghiul este dreptunghic.”

Vezi și

  • Teorema lui Thales