Teorema creșterilor finite

Teorema creșterilor finite (cunoscută și sub numele de prima teoremă a mediei) se referă la o proprietate remarcabilă a funcțiilor reale derivabile definite pe un interval.

Teorema îi este atribuită matematicianului francez Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).^[1][2]

Enunț

Fie ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ un interval, funcția ${\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} }$ și ${\displaystyle a,b\in I}$ cu ${\displaystyle a<b}$. Dacă:

• ${\displaystyle f}$ este continuă pe intervalul închis [a,b],
• ${\displaystyle f}$ este derivabilă pe intervalul deschis (a,b),

atunci există ${\displaystyle c\in (a,b)}$ astfel încât: ${\displaystyle f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)}$ (formula lui Lagrange sau formula creșterilor finite)

Demonstrație

Aplicând teorema lui Cauchy (a doua teoremă a mediei) pentru ${\displaystyle g(t)=t}$ rezultă:

${\displaystyle (f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c)}$

Dar ${\displaystyle g'(t)=1}$, deci:

${\displaystyle f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)}$.

Interpretare geometrică

O interpretare geometrică a teoremei creșterilor finite poate fi dată cu ajutorul graficului unei funcții f(x) continue pe intervalul [a, b] și derivabile pe (a, b). Conform acestei teoreme, există un număr real c din intervalul (a, b) astfel încât secanta ce unește capetele intervalului [a, b] să fie paralelă cu tangenta în c la graficul funcției f (a se vedea figura alăturată).

Consecințe ale teoremei creșterilor finite

Consecința 1

Fie ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ un interval. O funcție ${\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} }$ este constantă pe ${\displaystyle I}$ dacă și numai dacă are derivata nulă pe ${\displaystyle I}$.

Demonstrație

Necesitatea este evidentă.

Suficiența: Dacă ${\displaystyle f}$ are derivata nulă pe ${\displaystyle I}$ și ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in I}$ cu ${\displaystyle t_{1}<t_{2}}$ atunci din teorema lui Lagrange există ${\displaystyle c\in (t_{1},t_{2})}$ cu ${\displaystyle f(t_{2})-f(t_{1})=f'(c)(t_{2}-t_{1})=0}$ și deci ${\displaystyle f(t_{2})=f(t_{1})}$, adică ${\displaystyle f}$ este constantă pe ${\displaystyle I}$.

Consecința 2

Fie ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ un interval și ${\displaystyle f,g:I\rightarrow \mathbb {R} }$ derivabile pe ${\displaystyle I}$. Funcțiile ${\displaystyle f}$ și ${\displaystyle g}$ au aceași derivată pe ${\displaystyle I}$ dacă și numai dacă există ${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$ cu ${\displaystyle g(t)=f(t)+C}$ pentru orice ${\displaystyle t\in I}$ (adică ${\displaystyle f}$ și ${\displaystyle g}$ diferă printr-o constantă).

Demonstrație

Funcțiile ${\displaystyle f}$ și ${\displaystyle g}$ au aceeași derivată pe ${\displaystyle I}$ dacă și numai dacă funcția derivabilă ${\displaystyle h=g-f}$ are derivată nulă pe ${\displaystyle I}$. Din Consecința 1 acest fapt are loc dacă și numai dacă ${\displaystyle h}$ este constantă, ceea ce implică afirmația din enunț.

Consecința 3

Fie ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ un interval ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ cu ${\displaystyle a<b}$ și ${\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} }$ continuă pe ${\displaystyle [a,b]}$ și derivabilă pe ${\displaystyle (a,b)}$. Atunci

i) ${\displaystyle f}$ este crescătoare pe ${\displaystyle [a,b]}$ dacă și numai dacă${\displaystyle f'(t)\geq 0}$, pentru orice ${\displaystyle t\in (a,b)}$;

ii) ${\displaystyle f}$ este descrescătoare pe ${\displaystyle [a,b]}$ dacă și numai dacă${\displaystyle f'(t)\leq 0}$, pentru orice ${\displaystyle t\in (a,b)}$;

iii) ${\displaystyle f}$ este strict crescătoare pe ${\displaystyle [a,b]}$ dacă și numai dacă:

• ${\displaystyle f'(t)\geq 0}$, pentru orice ${\displaystyle t\in (a,b)}$;

• mulțimea ${\displaystyle \lbrace t\in (a,b):f'(t)>0\rbrace }$ este densă în ${\displaystyle (a,b)}$;

iv) ${\displaystyle f}$ este strict descrescătoare pe ${\displaystyle [a,b]}$ dacă și numai dacă:

• ${\displaystyle f'(t)\leq 0}$, pentru orice ${\displaystyle t\in (a,b)}$;

• mulțimea ${\displaystyle \lbrace t\in (a,b):f'(t)<0\rbrace }$ este densă în ${\displaystyle (a,b)}$.

Demonstrație

i)Necesitatea

Dacă ${\displaystyle f}$ este crescătoare pe ${\displaystyle [a,b]}$ atunci pentru orice ${\displaystyle t\in (a,b)}$:

${\displaystyle f'(t_{0})=\lim _{t\to t_{0}}{\frac {f(t)-f(t_{0})}{t-t_{0}}}\geq 0}$;

Suficiența

Dacă ${\displaystyle f'(t)\geq 0}$ atunci pentru orice ${\displaystyle t_{1}}$ și ${\displaystyle t_{2}\in [a,b]}$ cu ${\displaystyle t_{1}<t_{2}}$ avem (din teorema lui Lagrange) că există ${\displaystyle c\in (t_{1},t_{2})cuf(t_{2})-f(t_{1})=f'(c)(t_{2}-t_{1})\geq 0}$ și deci ${\displaystyle f(t_{2})\geq f(t_{1})}$, adică ${\displaystyle f}$ este crescătoare pe ${\displaystyle [a,b]}$.

ii) rezultă din (i) aplicat pentru funcția descrescătoare ${\displaystyle -f}$.

iii) Necesitatea

Dacă ${\displaystyle f}$ este strict crescătoare pe ${\displaystyle [a,b]}$, atunci din (i) rezultă ca ${\displaystyle f'\geq 0}$ pe are ${\displaystyle (a,b)}$.Dacă pe un anumit interval deschis ${\displaystyle (a_{0},b_{0})\subset (a,b)}$ am avea ${\displaystyle f'(t)=0}$ pentru orice ${\displaystyle t\in (a_{0},b_{0})}$ atunci restricția funcției ${\displaystyle f}$ la ${\displaystyle (a_{0},b_{0})}$ ar fi constantă, ceea ce contrazice faptul că ${\displaystyle f}$ este strict crescătoare pe ${\displaystyle [a,b]}$.

Suficiența

Dacă sunt îndeplinite ambele condiții de la (iii) atunci ${\displaystyle f}$ este crescătoare pe ${\displaystyle [a,b]}$. Dacă ${\displaystyle f}$ nu ar fi strict crescătoare pe ${\displaystyle [a,b]}$, ar rezulta că există un interval ${\displaystyle (a_{0},b_{0})\subset (a,b)}$ astfel ca restricția funcției ${\displaystyle f}$ la ${\displaystyle (a_{0},b_{0})}$ este constantă, adică ${\displaystyle f'(t)=0}$ pentru orice ${\displaystyle t\in (a_{0},b_{0})}$, ceea ce contrazice ipoteza a doua de la (iii).

iv) rezultă din (iii) aplicat pentru funcția ${\displaystyle -f}$.

Note

Bibliografie

• Mihail Megan, Calcul diferențial și integral pe dreapta reală, Timișoara, 2010.
• Miron Nicolescu, Nicolae Dinculeanu, Solomon Marcus, Analiza matematică, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1971.

Vezi și