Hebesfenomegacoroană

Hebesfenomegacoroană
(model 3D)
Descriere
Tip	poliedru Johnson J88 – J89 – J90
Fețe	21 (18 triunghiuri echilaterale,         3 pătrate)[1]
Laturi (muchii)	33[1]
Vârfuri	14[1]
χ	2
Configurația vârfului	4 (32.42); 6 (35); 4 (34.4)
Grup de simetrie	C2v , [2], [*22], ordin 4
Arie	≈ 10,794 a2   (a = latura)
Volum	≈ 2,913 a3     (a = latura)
Poliedru dual	–
Proprietăți	Convex
Desfășurată

În geometrie hebesfenomegacoroana este unul dintre poliedrele Johnson, (J₈₉).^[1][2] Este unul dintre poliedrele elementare Johnson care nu se pot obține prin „tăiere și lipire” ale poliedrelor platonice sau arhimedice. Având 21 de fețe, este un enicosaedru.

Construcție

Johnson folosește prefixul hebesfeno- pentru a se referi la un complex asemănător unei pene format din trei lunule adiacente (o lunulă fiind un pătrat cu triunghiuri echilaterale atașate pe laturile opuse). De asemenea, sufixul -megacoroană se referă la un complex în formă de coroană format din 12 triunghiuri, în contrast cu complexul mai mic, format din 8 triunghiuri, din sfenocoroană. Unirea ambelor complexe produce hebesfenomegacoroana.^[2]

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

Pentru a calcula coordonatele carteziene pentru hebesfenomegacoronă, fie a ≈ 0,21684 a doua cea mai mică rădăcină pozitivă a polinomului de gradul 10

${\displaystyle {\begin{aligned}&26880x^{10}+35328x^{9}-25600x^{8}-39680x^{7}+6112x^{6}\\&+13696x^{5}+2128x^{4}-1808x^{3}-1119x^{2}+494x-47\end{aligned}}}$

Atunci, coordonatele carteziene ale unei hebesfenomegacoroane cu lungimea laturilor 2 sunt date de reuniunea orbitelor punctelor

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1,1,2{\sqrt {1-a^{2}}}\right),\ \left(1+2a,1,0\right),\ \left(0,1+{\sqrt {2}}{\sqrt {\frac {2a-1}{a-1}}},-{\frac {2a^{2}+a-1}{\sqrt {1-a^{2}}}}\right),\ \left(1,0,-{\sqrt {3-4a^{2}}}\right),\\&\left(0,{\frac {{\sqrt {2(3-4a^{2})(1-2a)}}+{\sqrt {1+a}}}{2(1-a){\sqrt {1+a}}}},{\frac {(2a-1){\sqrt {3-4a^{2}}}}{2(1-a)}}-{\frac {\sqrt {2(1-2a)}}{2(1-a){\sqrt {1+a}}}}\right)\end{aligned}}}$

sub acțiunea grupului generat de reflexiile față de planele xz și yz.^[3]

Arie și volum

Următoarele formule pentru arie, A^[1] și volum, V sunt stabilite pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:

${\displaystyle A={\frac {3}{2}}(2+3{\sqrt {3}})\,a^{2}\approx 10,794229~a^{2},}$

Pentru volum se calculează ${\displaystyle \xi }$ ca rădăcina minimă pozitivă a polinomului de gradul 20:

   47330370277129322496 x²⁰

− 722445512980071186432 x¹⁸

+ 3596480447590271287296 x¹⁶

− 3596480447590271287296 x¹⁴

+ 8973584611317745975296 x¹²

− 3065290664181478981632 x¹⁰

+ 366229890219212144640 x⁸

− 8337259437908852736 x⁶

− 22211277300912896 x⁴

+ 132615435213216 x²

+ 2693461945329 ,

cu care volumul este:

${\displaystyle V=\xi \,a^{3}\approx 2,912910~a^{3}.}$

Note

Legături externe

Portal Matematică

• en Eric W. Weisstein, Sphenomegacorona la MathWorld.
• en Eric W. Weisstein, Johnson solid la MathWorld.