Ecuația lui Laplace

Ecuația lui Laplace este o ecuație cu derivate parțiale de ordinul II, utilizată în numeroase domenii științifice: mecanica fluidelor, astronomie, electrostatică, termodinamică, difuzie, mișcare browniană, mecanică cuantică etc. Poartă numele celebrului matematician și astronom francez Pierre-Simon Laplace (1749-1827), care a studiat și a pus în evidență proprietățile acestei ecuații.

În spațiul euclidian tridimensional ecuația lui Laplace (în coordonate carteziene) are forma:

∂ 2 ψ ∂ x 2   +   ∂ 2 ψ ∂ y 2   +   ∂ 2 ψ ∂ z 2   =   0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\ =\ 0}

Problema matematică constă în găsirea tuturor funcțiilor reale ψ ( x , y , z ) {\displaystyle \psi (x,y,z)} care verifică această ecuație în anumite condiții la limită impuse.

Folosind operatorul laplacian, ecuația poate fi scrisă sub forma compactă:

Δ ψ   =   0 {\displaystyle \Delta \psi \ =\ 0}

În spațiul euclidian bidimensional, ecuația lui Laplace ia forma:

∂ 2 U ∂ x 2   +   ∂ 2 U ∂ y 2   =   0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}\ =\ 0}

Se poate demonstra că orice funcție olomorfă este o soluție a ecuației Laplace bidimensionale, atât pentru partea reală cât și pentru partea imaginară a funcției respective.

O generalizare a ecuației lui Laplace este ecuația lui Poisson:

Δ ψ = f {\displaystyle \Delta \psi =f}

în care membrul din dreapta este o funcție dată f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} .

Bibliografie

  • fr Caius Iacob, Une introduction mathématique a la mécaniques des fluides, Editions Gauthier-Villars, Paris, 1959.
  • Șabac, I., Matematici speciale, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1981.

Vezi și