Distribuția binomială

În teoria probabilităților și statistică distribuția binomială este o distribuție de probabilitate discretă reprezentând numărul de succese intr-o secvență de n încercări Bernoulli (experimente da/nu) cu probabilitate de succes p.

Exemple

La aruncarea unui zar de 10 ori, numărul de apariții a feței cu numărul 6, urmează o distribuție binomială.

Daca bruneții reprezintă 40% din populația unei tări, numărul de persoane brunete intr-un grup aleator de 100 de persoane are o distribuție binomială

Presupunem că la aruncare unei monede părtinitoare iese cap cu probabilitate de 0.3. Care este probabilitate de a obține de 0, 1, 2, ..., 6 ori cap din șase aruncări?

P r ( 0   c a p ) = f ( 0 ) = P r ( X = 0 ) = ( 6 0 ) 0.3 0 ( 1 − 0.3 ) 6 − 0 = 0.117649 {\displaystyle Pr(0\ cap)=f(0)=Pr(X=0)={\binom {6}{0}}0.3^{0}(1-0.3)^{6-0}=0.117649}

P r ( 1   c a p ) = f ( 1 ) = P r ( X = 1 ) = ( 6 1 ) 0.3 1 ( 1 − 0.3 ) 6 − 1 = 0.302526 {\displaystyle Pr(1\ cap)=f(1)=Pr(X=1)={\binom {6}{1}}0.3^{1}(1-0.3)^{6-1}=0.302526}

P r ( 2   c a p ) = f ( 2 ) = P r ( X = 2 ) = ( 6 2 ) 0.3 2 ( 1 − 0.3 ) 6 − 2 = 0.324135 {\displaystyle Pr(2\ cap)=f(2)=Pr(X=2)={\binom {6}{2}}0.3^{2}(1-0.3)^{6-2}=0.324135}

P r ( 3   c a p ) = f ( 3 ) = P r ( X = 3 ) = ( 6 3 ) 0.3 3 ( 1 − 0.3 ) 6 − 3 = 0.18522 {\displaystyle Pr(3\ cap)=f(3)=Pr(X=3)={\binom {6}{3}}0.3^{3}(1-0.3)^{6-3}=0.18522}

P r ( 4   c a p ) = f ( 4 ) = P r ( X = 4 ) = ( 6 4 ) 0.3 4 ( 1 − 0.3 ) 6 − 4 = 0.059535 {\displaystyle Pr(4\ cap)=f(4)=Pr(X=4)={\binom {6}{4}}0.3^{4}(1-0.3)^{6-4}=0.059535}

P r ( 5   c a p ) = f ( 5 ) = P r ( X = 5 ) = ( 6 5 ) 0.3 5 ( 1 − 0.3 ) 6 − 5 = 0.010206 {\displaystyle Pr(5\ cap)=f(5)=Pr(X=5)={\binom {6}{5}}0.3^{5}(1-0.3)^{6-5}=0.010206}

P r ( 6   c a p ) = f ( 6 ) = P r ( X = 6 ) = ( 6 6 ) 0.3 6 ( 1 − 0.3 ) 6 − 6 = 0.000729 {\displaystyle Pr(6\ cap)=f(6)=Pr(X=6)={\binom {6}{6}}0.3^{6}(1-0.3)^{6-6}=0.000729}

Caracteristici

Funcția de distribuție

Daca variabila X urmează o distribuție binomială cu parametri n si p, X ~ B(n, p), probabilitatea obținerii a k succese in n incercări este dată de funcția de distributie:

Pr ( K = k ) = f ( k ; n , p ) = ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k {\displaystyle \Pr(K=k)=f(k;n,p)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}

pentru k = 0, 1, 2, ..., n unde : ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}} este coeficientul binomial, de unde vine și numele distribuției. Interpretarea formulei este următoarea: k succese apar cu probabilitate pk și n − k insuccese apar cu probabilitatea (1 − p)n − k . Cele k succese pot apărea oriunde printre cele n încercări, existând astfel ( n k ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}} moduri diferite de a distribui cele k succese într-o serie de n încercări.

Funcția cumulativă

Funcția cumulativă poate fi calculată ca:

F ( x ; n , p ) = Pr ( X ≤ x ) = ∑ i = 0 x ( n i ) p i ( 1 − p ) n − i . {\displaystyle F(x;n,p)=\Pr(X\leq x)=\sum _{i=0}^{x}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}.}

unde x un număr intreg mai mic ca n.

Indicatori fundamentali

  • medie: np
  • mediana: partea întreagă a np
  • abaterea standard: n p ( 1 − p ) {\displaystyle {\sqrt {np(1-p)}}}

Vezi și

  • Grad de libertate (statistică)

Referințe

 Acest articol din domeniul statisticii este deocamdată un ciot. Puteți ajuta Wikipedia prin dezvoltarea lui.