Triângulo esférico

Um triângulo esférico é a união de três segmentos geodésicos de uma esfera. As suas propriedades são diferentes das dos triângulos planos e o seu conhecimento é essencial em navegação astronômica, mecânica de precisão e óptica. A parte da matemática que estuda as relações entre seus elementos é a trigonometria esférica.

Propriedades

Seja [ABC] um triângulo esférico e a, b e c as medidas dos lados opostos aos ângulos A, B e C.

Ângulos

A soma dos ângulos de um triângulo esférico é sempre maior que 180º e menor do que 540º, isto é, ${\displaystyle 180^{\circ }<A+B+C<540^{\circ }}$. Mais precisamente

${\displaystyle A+B+C=\pi +{\frac {{\mbox{Area}}_{[ABC]}}{R^{2}}}}$ (em radianos)

Assim, a soma dos ângulos é tanto mais próxima de 180º quanto menor for a razão entre a área do triângulo e a área da esfera. Deste modo, um triângulo pequeno desenhado na superfície terrestre aparenta ser plano (uma das razões pela qual durante muito tempo se julgou que a Terra era plana).

Teorema de Pitágoras

Se C = 90º, tem-se

${\displaystyle \cos(c)=\cos(a)\cos(b)\,\!}$

Lei dos senos

${\displaystyle {\frac {{\mbox{sen}}(a)}{{\mbox{sen}}(A)}}={\frac {{\mbox{sen}}(b)}{{\mbox{sen}}(B)}}={\frac {{\mbox{sen}}(c)}{{\mbox{sen}}(C)}}}$

Lei dos cossenos

${\displaystyle \cos(c)=\cos(a)\cos(b)+{\mbox{sen}}(a){\mbox{sen}}(b)\cos(C)\,\!}$

ou a versão dual

${\displaystyle \cos(C)=-\cos(A)\cos(B)+{\mbox{sen}}(A){\mbox{sen}}(B)\cos(c)\,\!}$