Relação simétrica

Uma relação simétrica é um tipo de relação binária.^[1][2] Um exemplo é a relação "é igual a", porque se ${\displaystyle a=b}$ é verdadeiro, então ${\displaystyle b=a}$ também é verdadeiro. Formalmente, uma relação binária ${\displaystyle R}$ sobre um conjunto ${\displaystyle X}$ é simétrica se e somente se:

${\displaystyle \forall a,b\in X(aRb\Leftrightarrow bRa).}$^[3]

Se ${\displaystyle R^{-1}}$ representa o inverso de ${\displaystyle R}$, então ${\displaystyle R}$ é simétrica se e somente se ${\displaystyle R=R^{-1}}$.^[3][4]

A simetria, juntamente com a reflexividade e a transitividade, são as três propriedades definidoras de uma relação de equivalência.^[4]

Representação

Seja ${\displaystyle R}$ uma relação simétrica ou assimétrica aplicada em um conjunto ${\displaystyle A}$, então ${\displaystyle R}$ tem uma representação particular para cada modo de descrever uma relação binária.

Notação	Relação simétrica	Relação assimétrica
Como pares ordenados	${\displaystyle \forall x,y\in A,\ (x,y)\in R\Rightarrow (y,x)\in R}$	${\displaystyle \forall x,y\in A,\ (x,y)\in R\Rightarrow (y,x)\not \in R}$
Como matriz de adjacência	Matriz ${\displaystyle M\,}$ cuja transposta ${\displaystyle M^{t}\,}$ é tal que ${\displaystyle M^{t}=M\,.}$	Matriz ${\displaystyle M\,}$ cuja diagonal tem apenas zeros, isto é, ${\displaystyle \forall i=\{1,...,n\},\;(a_{i,i})_{n\times n}=0,}$ e também ${\displaystyle M+M^{t}\,}$ produz uma matriz simétrica.
Como grafo	É um grafo que pode ser representado como um grafo não direcionado.	É um grafo direcionado sem laços ou ciclos.

Exemplos

Na matemática

• "é igual a" (igualdade) (enquanto "é menor que" não é simétrico)
• "é comparável a", para elementos de um conjunto parcialmente ordenado.
• "... e ... são ímpares"

Fora da matemática

• "é casado com" (na maioria dos sistemas legais)
• "é um irmão totalmente biológico de"
• "é um homófono de"
• "é colega de trabalho de"
• "é companheiro de equipe de"

Relação com relações assimétricas e antissimétricas

Por definição, uma relação não vazia não pode ser simétrica e assimétrica (onde se ${\displaystyle a}$ está relacionado a ${\displaystyle b}$, então ${\displaystyle b}$ não pode estar relacionado a ${\displaystyle a}$ (da mesma forma)). No entanto, uma relação pode ser nem simétrica nem assimétrica, que é o caso de "é menor ou igual a" e "presa em").

Simétrica e antissimétrica (onde a única maneira que ${\displaystyle a}$ pode estar relacionado a ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle b}$ estar relacionado a ${\displaystyle a}$ é se ${\displaystyle a=b}$) são na verdade independentes um do outro, como esses exemplos mostram.

Assimétrica ${\displaystyle \neq }$ antissimétrica

A relação simétrica não é o oposto da antissimétrica.^[3][4]

Existem relações que são simétricas e antissimétricas ao mesmo tempo (como igualdade), outras que não são simétricas ou antissimétricas (como divisibilidade), outras que são simétricas mas não antissimétricas (como a relação de congruência do módulo de n) e outras que são antissimétricas, mas não simétricas (como a relação "menor que").

Aspectos adicionais

Uma relação simétrica também transitiva e reflexiva é uma relação de equivalência.^[4]

Uma maneira de conceituar uma relação simétrica na teoria dos grafos é que uma relação simétrica é uma aresta, com os dois vértices da aresta sendo as duas entidades assim relacionadas. Assim, relações simétricas e grafos não direcionados são objetos combinativamente equivalentes.

Ver também

• Relação de equivalência
• Relação reflexiva
• Relação transitiva
• Relação antissimétrica
• Relação assimétrica

Referências

• Portal da matemática