Número complexo hiperbólico

Conjuntos de números

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C ⊂ H ⊂ ⋯ {\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots }

I ⊂ R ⊂ C ⊂ H ⊂ ⋯ {\displaystyle \mathbb {I} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots }

Na matemática, os números complexos hiperbólicos são uma extensão bidimensional dos números reais definidos de forma análoga aos números complexos.[1] A diferença geométrica principal entre os dois é que enquanto a multiplicação de números complexos respeita a norma euclidiana (quadrada) padrão (x2 + y2) em R2, a multiplicação de números complexos hiperbólicos respeita a norma (quadrada) de Minkowski (x2 − y²).

Algebricamente os números complexos hiperbólicos têm a propriedade interessante, ausente nos números complexos, de ter idempotentes.[1] Além disso, a coleção de todos os números complexos hiperbólicos não dá forma a um corpo, mas, em vez disso, essa estrutura está na mais larga categoria de anéis.

Definição

Um número complexo hiperbólico é um número na forma:[1]

z = x + h y {\displaystyle z=x+hy\,\!}

onde x e y são números reais e a quantidade h satisfaz:

h 2 = + 1 {\displaystyle h^{2}=+1\,\!}

Escolhendo h2 = − 1 resulta nos números complexos. É esta mudança do sinal que distingue os números complexos hiperbólicos dos complexos. A quantidade h aqui não é um número real mas uma quantidade independente; isto é, não é igual a ± 1.

A coleção de todo z é chamado de plano complexo hiperbólico. A adição e a multiplicação de números complexos hiperbólicos são definidas por:

( x + h y ) + ( u + h v ) = {\displaystyle (x+hy)+(u+hv)=\,\!} ( x + u ) + h ( y + v ) {\displaystyle (x+u)+h(y+v)\,\!}
( x + h y ) ( u + h v ) = {\displaystyle (x+hy)(u+hv)=\,\!} ( x u + y v ) + h ( x v + y u ) {\displaystyle (xu+yv)+h(xv+yu)\,\!} .

Essa multiplicação é comutativa, associativa e distribuitiva em relação à adição.

Conjugado, norma e produto interno

Exatamente como para aos números complexos, pode-se definir a noção de conjugado de um número complexo hiperbólico. Se

z = x + h y {\displaystyle z=x+hy\,\!}

o conjugado de z é definido como

z ¯ = x − h y {\displaystyle {\overline {z}}=x-hy\,\!}

O conjugado satisfaz a propriedades similares às do conjugado do número complexo usual. A saber,

( z + w ) ¯ = {\displaystyle {\overline {(z+w)}}=\,\!} z ¯ + w ¯ {\displaystyle {\overline {z}}+{\overline {w}}\,\!}
( z w ) ¯ = {\displaystyle {\overline {(zw)}}=\,\!} z ¯ w ¯ {\displaystyle {\overline {z}}{\overline {w}}\,\!}
( z ¯ ) ¯ = {\displaystyle {\overline {({\overline {z}})}}=\,\!} z {\displaystyle z\,\!}

Essas três propriedades implicam que o conjugado número complexo hiperbólico é um automorfismo de ordem 2. A forma quadrática de um número complexo hiperbólico z = x + hy é dada por:

| z | {\displaystyle |z|\,\!} = z z ¯ = {\displaystyle =z{\overline {z}}=\,\!} z ¯ z = {\displaystyle {\overline {z}}z=\,\!} x 2 − y 2 {\displaystyle x^{2}-y^{2}\,\!} .

Há uma propriedade importante que está preservado pela multiplicação complexa hiperbólica:

| z w | = | z | | w | {\displaystyle |zw|=|z||w|\,\!}

Entretanto, essa forma quadrática não é positiva-definitiva mas tem ,em vez disso, a assinatura (1.1), então ela não é uma norma.

Aplicação

Os números complexos hiperbólicos são a linguagem natural para tratar da Relatividade Especial em duas dimensões; os divisores de zero representam o cone de luz da relatividade.[1]

Ver também

Referências

  1. ↑ a b c d P. Fjelstad and S. G. Gal, n-Dimensional Hyperbolic Complex Numbers [em linha]


  • v
  • d
  • e
Conjuntos contáveis
Números reais e
suas extensões
Outros sistemas