Dualidade de Pontryagin

Na matemática, mais especificadamente na análise harmônica e na teoria dos grupos topológicos, a dualidade de Pontryagin explica as propriedades gerais da transformada de Fourrier em grupos abelianos locais, como os reais, os circulares, ou grupos cíclicos finitos. O teorema da dualidade de Pontryagina em si, afirma que grupos abelianos localmente compactos se identificam naturalmente com seu bi-dual.

Introdução

A dualidade de Pontryagin coloca em um contexto unificado um número de observações sobre funções no domínio real ou em um grupo abeliano finito.^[1]

• Funções periódicas regulares com números complexos, no domínio real tem série de Fourrier e tal função pode ser recuperada de sua série de Fourrier.
• Funções complexas adequadamente regulares no domínio real tem transformada de Fourrier que são funções no domínio real e, somente funções periódicas podem ser recuperadas de sua tranformada de Fourrier; e
• Funções complexas em um grupo abeliano finito tem transformadas de Fourrier discretas, que são funções no grupo dual, que é (não canonicamente) um grupo isomórfico. Além disso, toda função em um grupo finito pode ser recuperada de sua transformada de Fourrier discreta.

A teoria, introduzida por Lev Pontryagin e combinada com com a medida de Haar, introduzida por John von Neumann, André Weil e outros, depende da teoria dos grupos duais de um grupo abeliano localmente compacto.

Tal fato é análogo ao espaço vetorial dual de um espaço vetorial: um espaço vetorial de dimensão finita V e seu espaço vetorial dual V* não são naturalmente isomórficos, mas a álgebra do endomorfismo (álgebra matricial) de um é isomórfica ao oposto da álgebra do endomorfismo do outro : ${\displaystyle End(V)\cong End(V^{*})^{op}}$, pela transposta. Similarmente, um grupo ${\displaystyle G}$ e seu grupo dual ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ não são em geral isomórficos, mas seus anéis de endomorfismo são opostos um ao outro: ${\displaystyle End(G)\cong End({\widehat {G}})^{op}}$. Mais categoricamente, isso não é somente um isomorfismo das álgebras do endomorfismo, mas uma equivalência contravariante das categorias.^[2]

Definição

Um grupo topológico é um grupo localmente compacto se o espaço topológico subjacente é localmente compacto e Hausdorff; um grupo topológico é abeliano se o grupo subjacente é abeliano. Exemplos de grupos abelianos localmente compactos incluem os grupos abelianos finitos, os inteiros (ambos para a topologia discreta, que é também induzida pela métrica usual), os números reais, o grupo circular T(ambos com sua topologia métrica usual), e também os números p-ádicos (com sua topologia p-ádica usual).^[3]

Para um grupo abeliano localmente compacto ${\displaystyle G}$, o dual de Pontryagin é o grupo ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ dos contínuos homomorfismos de grupo de ${\displaystyle G}$ para o grupo circular T. Ou seja,

${\displaystyle {\widehat {G}}:=Hom(G,T)}$.

O dual de Pontryagin ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ é usualmente dotado da topologia dada pela convergência uniforme em conjuntos compactos (que é a topologia induzida pela topologia compacto-aberta no espaço de todas as funções contínuas de ${\displaystyle G}$ para ${\displaystyle T}$.

Por exemplo,

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=T,\ {\widehat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} ,\ {\widehat {T}}=\mathbb {Z} }$

Referências

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