Função | Derivada |
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A diferenciação de funções trigonométricas é o processo matemático de encontrar a taxa na qual a função trigonométrica varia em relação a uma variável, isto é, a derivada da função trigonométrica. Funções comuns incluen sin(x), cos(x) e tan(x). Por exemplo, na diferenciação de f(x) = sin(x), calculamos a função f ′(x), que é a taxa de variação de sin(x) num certo ponto a. O valor da taxa de variação em a é portando dada por f ′(a).
Para calcular as derivadas de funções trigonométricas, é necessário ter conhecimento básico de diferenciação, além de conhecimento no uso de identidades trigonométricas e limites. Todas funções envolvem a variável arbitrária x, com todas diferenciações realizadas em relação a x.
Ao encontrarmos as derivadas das funções sin(x) e cos(x), podemos calcular as derivadas das outras funções trigonométricas com facilidade, devido ao fato delas poderem ser expressas em termos de seno e cosseno; a regra do quociente é utilizada para o cálculo de tais derivadas. As provas das derivadas das funções sin(x) e cos(x) são dadas na seção de provas. Encontrar as derivadas de funções trigonométricas inversas envolve diferenciação implícita e as derivadas das funções trigonométricas regulares, que são dadas na seção de provas.
Derivadas das funções trigonométricas e suas inversas
![{\displaystyle \left(\sin(x)\right)'=\cos(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9215c138f76f34a0212719afd1765d77b85df76)
![{\displaystyle \left(\cos(x)\right)'=-\sin(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9236d9cac3999f1f4c683f09bf103ac0f7200d3)
![{\displaystyle \left(\tan(x)\right)'=\left({\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=\sec ^{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d8047b08135b1d5c2c513a76f292b4979010178)
![{\displaystyle \left(\cot(x)\right)'=\left({\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}\right)'={\frac {-\sin ^{2}(x)-\cos ^{2}(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-(1+\cot ^{2}(x))=-\csc ^{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a1a7b7c04419d1107579cf269848c6a040718d)
![{\displaystyle \left(\sec(x)\right)'=\left({\frac {1}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos(x)}}.{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}=\sec(x)\tan(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d91d52e02128d59c66dba449d372a4ea9eae0af0)
![{\displaystyle \left(\csc(x)\right)'=\left({\frac {1}{\sin(x)}}\right)'=-{\frac {\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-{\frac {1}{\sin(x)}}.{\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}=-\csc(x)\cot(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eda116a90230ce45d54b0ee27ef44caf2b3aaaa)
![{\displaystyle \left(\arcsin(x)\right)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fef588a06020a05c109163e0eb537125138d7f6)
![{\displaystyle \left(\arccos(x)\right)'={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cefb49b316fdead4a124e1107c68ab16c32133a2)
![{\displaystyle \left(\arctan(x)\right)'={\frac {1}{x^{2}+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec15862e77cdfccb7bad36565a65ed07df7bd94e)
Provas das derivadas das funções seno e coseno
Limite de sin(θ)/θ para θ → 1
Considere a circunferência unitária exibida na imagem. Assuma que o ângulo θ, feito pelos raios OB e OC seja pequeno, e.g. menor que π/2 radianos, i.e. 90°. Seja T1 o triângulo com vértices O, B e C. Seja S o setor circular dado pelos raios OB e OC (i.e. a "fatia" dada cortando-se ao longo das retas OB e OC). Seja T2 o triângulo com vértices O, B e D. Claramente, a área de T1 é menor que a área de S, que por sua vez é menor que a área de T2, i.e. área(T1) < área(S) < área(T2). A área do triângulo é dada pela metade do produto entre sua base e sua altura. Usando u para denotar a unidade de medida utilizada, encontramos que a área de T1 é exatamente 1⁄2 × ||OB|| × ||CA|| = 1⁄2 × 1 × sin(θ) = 1⁄2·sin(θ) u2. A área do setor circular S é exatamente 1⁄2·θ u2. Finalmente, a área do triângulo T2 é exatamente 1⁄2 × ||OB|| × ||BD|| = 1⁄2·tan(θ) u2.
Como área(T1) < área(S) < área(T2) encontramos que, para um θ pequeno,
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sin \theta <{\frac {1}{2}}\theta <{\frac {1}{2}}\tan \theta \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8bdd0598f70d70ad6948b925151d792738ef7f7)
(Lembre-se que tan(θ) = sin(θ)/cos(θ).) Se isto é verdade, então multiplicando por 2 temos sin(θ) < θ < tan(θ). Invertendo os termos, também invertemos as desigualdades, e.g. 2 < 3 enquanto 1⁄2 > 1⁄3. Segue-se que
![{\displaystyle {\frac {1}{\sin \theta }}>{\frac {1}{\theta }}>{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a015d2ac28b9c79de86e4b9bf1478e7fee79c8c0)
Como θ é pequeno, e portanto menor que π/2 radianos, i.e. 90°, segue-se que sin(θ) > 0. Podemos multiplicar ambos lados por sin(θ), que é positivo, sem alterar a desigualdade; portanto:
![{\displaystyle 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29fe9c0a46c647cc13f828edfd2c720710fe2ffb)
Isto nos diz que para um θ muito pequeno, sin(θ)/θ é menor que um, mas maior que cos(θ). Porém, com θ diminuindo, cos(θ) cresce e se aproxima de 1 (see the cosine graph). A desigualdade nos diz que sin(θ)/θ é sempre menor que 1 e maior que cos(θ); mas conforme 'θ diminui, cos(θ) se aproxima de 1. Portanto, sin(θ)/θ é "esmagado" (ver teorema do confronto por 1 e cos(θ) quando θ decresce. Isto faz com que sin(θ)/θ se aproxime a 1.
Limite de [cos(θ) – 1]/θ para θ → 0
Esta última seção nos permite calcular este novo limite com facilidade. Sabemos que
![{\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)=\lim _{\theta \to 0}\left[\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\right]=\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos ^{2}\theta -1}{\theta (\cos \theta +1)}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a9d038741c63622c6f8ea43e63a6eb7c7d236d)
A identidade sin2θ + cos2θ = 1 nos diz que cos2θ – 1 = –sin2θ. Usando isto, o fato de o limite do produto ser o produto do limite, e o resultado da última seção, encontramos
![{\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)=\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\right)=\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {-\sin \theta }{\theta }}\right)\times \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)=(-1)\times {\frac {0}{2}}=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7310789a8f76a6e86a9b9b2031b794259864c25)
Derivada da função seno
Para calcular a derivada da função seno, sin(θ), usamos princípios básicos de derivação. Por definição:
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c26136b2644aa1d7a766ab7830efcfacbd38eca)
Usando a conhecida fórmula sin(α+β) = sin(α)cos(β) + sin(β)cos(α) e os limites calculados acima, encontramos que
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}\right)=\lim _{\delta \to 0}\left[\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta \right)+\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right)\right]=(1\times \cos \theta )+(0\times \sin \theta )=\cos \theta \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d11e40ef8559bb80716fe738e8ba15956eef08)
Derivada da função coseno
Para calcular a derivada da função cosseno, cos(θ) usamos princípios básicos de diferenciação. Por definição:
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d969221893544cbf122854adf8d17cc953f92750)
Usando a conhecida fórmula cos(α+β) = cos(α)cos(β) – sin(α)sin(β) e os dois limites calculados acima, encontramos que
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}\right)=\lim _{\delta \to 0}\left[\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \right)-\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right)\right]=(0\times \cos \theta )-(1\times \sin \theta )=-\sin \theta \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27d6f11fc88abc1a046dbb5c8c0aa43454531140)
Provas das derivadas das funções trigonométricas inversas
Nas provas abaixo, igualamos y a função trigonométrica inversa que queremos derivar. Usando diferenciação implícita e resolvendo para dy/dx, a derivada da função inversa é encontrada em termos de y. Para converter dy/dx de volta em termos de x, podemos desenhar um triângulo de referência na circunferência unitária, igualando θ a y. Usando o teorema de Pitágoras e as definições das funções básicas trigonométricas, podemos finalmente expressar dy/dx em termos de x.
Diferenciando a inversa da função seno
Fazemos
![{\displaystyle y=\arcsin x\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee7ea8c081feb63725a74ff6320b2005a8d6581f)
Onde
![{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2efafb1db8d9f68062b352591b873384c668863a)
Então
![{\displaystyle \sin y=x\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f621b25755c10786273a171e143671e98fdf20)
Usando diferenciação implícita e resolvendo para dy/dx:
![{\displaystyle {d \over dx}\sin y={d \over dx}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/824d3cdb514e8b557b550ad81ab925374be92a97)
![{\displaystyle {dy \over dx}\cos y=1\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adc100dfe9249c8156539457d4f9fbf3adac66fe)
Substituindo
acima,
![{\displaystyle {dy \over dx}{\sqrt {1-\sin ^{2}y}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3751fa38801d8f49ed77e469e43c24d793b48cdf)
Substituindo
acima,
![{\displaystyle {dy \over dx}{\sqrt {1-x^{2}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bcbafaa9153873386e55544527283504c945907)
![{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b9fa9f0c15875e1a16e27d457ec6d25b8c6e81e)
Diferenciando a inversa da função cosseno
Fazemos
![{\displaystyle y=\arccos x\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1798f5f283c4bb90ad5479ef9b0c9d2af77c2be)
Onde
![{\displaystyle 0\leq y\leq \pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fefa00e53d95829eab873c055bad5904bbdab2af)
Então
![{\displaystyle \cos y=x\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b802ce960ab03915477857fdc0fe6109e86cf101)
Usando diferenciação implícita e resolvendo para dy/dx:
![{\displaystyle {d \over dx}\cos y={d \over dx}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52697d0ad08dc0fb61f85c3f79710f2b3d69f85b)
![{\displaystyle -{dy \over dx}\sin y=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b88f2bfe51c81e5ceb71a2fcaad97e7529ff1c6e)
Substituindo
acima, temos
![{\displaystyle -{dy \over dx}{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f776d56be8553250a362cd2f9b98434401f6c3f)
Substituindo
acima, temos
![{\displaystyle -{dy \over dx}{\sqrt {1-x^{2}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f7b04ea41f681559683443f143b54cbdee88a9c)
![{\displaystyle {dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1f28db4a867caab7fd227868acf664744065f55)
Diferenciando a função tangente inversa
Fazemos
![{\displaystyle y=\arctan x\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eef7a8c6809648976550d318c12b17077aeeaf4)
Onde
![{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3abf498afbd5441808be418f8e62ef4969fa055b)
Então
![{\displaystyle \tan y=x\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14945c6cd0ab524b75404d0dc89052eca5eff2a6)
Usando diferenciação implícita e resolvendo para dy/dx:
![{\displaystyle {d \over dx}\tan y={d \over dx}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e1cd369fc60d28d3998290f6525e50b5be5951b)
![{\displaystyle {dy \over dx}\sec ^{2}y=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d15040e29a126919f9f983a885ddb974d9bd0bac)
Derivando e substituindo em
dada a expressão acima,
![{\displaystyle {dy \over dx}(1+\tan ^{2}y)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96b8f08cf46fff1796c2c9a6c158340fb5ad7c14)
Substituindo
acima,
![{\displaystyle {dy \over dx}(1+x^{2})=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a40ae2b4d656003f435c4ff734b75982a3debf4)
![{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c547fbf05e5cdd90ba4ebd5d61d4c04c014b0f6)
Ver também
Bibliografia
- Handbook of Mathematical Functions, Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964).