Desigualdade triangular

A desigualdade triangular é um teorema da geometria euclidiana que afirma que, num triângulo o comprimento de um dos lados é sempre inferior à soma dos comprimentos dos outros dois lados. No texto clássico Os Elementos, de Euclides, este teorema é a Proposição 20 do Livro I.^[1] É nada mais que uma reformulação do conceito intuitivo de que é mais curto o caminho reto entre A e B que o caminho de A até C somado ao de C até B.

A desigualdade triangular nos números reais

No conjunto dos números reais, chamamos de desigualdade triangular, em analogia ao caso da geometria plana a seguinte expressão envolvendo módulos:

${\displaystyle |u+v|\leq |u|+|v|}$.

Que dá origem a outras desigualdades:

• ${\displaystyle |u-v|\leq |u|+|v|}$
• ${\displaystyle |u|-|v|\leq |u-v|\,}$
• ${\displaystyle {\Big |}|u|-|v|{\Big |}\leq |u-v|\,}$

Para a primeira, escreva ${\displaystyle |u-v|=|u+(-v)|\leq |u|+|-v|=|u|+|v|}$

Para a segunda, ${\displaystyle |u|=|v+(u-v)|\leq |v|+|u-v|\,}$

A terceira é consequência da segunda, trocando os papéis de u e v.

A desigualdade triangular em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Teorema

Em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, quaisquer que sejam ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}$, tem-se^[2]:

${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$

Havendo igualdade se e só se ${\displaystyle y=\alpha x}$ com ${\displaystyle |1+\alpha |=1+|\alpha |}$ .

Note que ${\displaystyle \alpha =0}$ está incluído mas ${\displaystyle \alpha \leq -1}$ não.

Demonstração

Utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, prova-se o teorema facilmente^[2].

Tem-se (utilizando propriedades do produto interno):

${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle }$ (I)

Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada em (I):

${\displaystyle \langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle \leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}=\left(\|x\|+\|y\|\right)^{2}}$

Tendo em conta que a norma é um valor não-negativo, segue que:

${\displaystyle \|x+y\|^{2}\leq \left(\|x\|+\|y\|\right)^{2}\Leftrightarrow \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$ Q.E.D.

A segunda parte do teorema decorre diretamente da aplicação da desigualdade de Cauchy-Schwarz (atentar no segundo termo do lado direito da equação).

Desigualdade triangular para números complexos

Sejam X e Y dois números complexos, então:

• ${\displaystyle |X+Y|\leq |X|+|Y|}$
• ${\displaystyle |X|-|Y|\leq |X-Y|}$

Desigualdade triangular em espaço métrico

A desigualdade triangular é tão importante nos conceitos da análise matemática e topologia que se torna um axioma na definição de métrica, ou seja toda métrica d deve satisfazer:

${\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)\,}$

Desigualdade triangular em espaço normado

A desigualdade triangular em espaços normados escreve-se da seguinte forma:

${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$

E generaliza-se por indução matemática para:

${\displaystyle \left\|\sum _{n=1}^{N}x_{n}\right\|\leq \sum _{n=1}^{N}\|x_{n}\|}$

E também para séries infinitas:

${\displaystyle \left\|\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}\right\|\leq \sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\|}$

Desigualdade triangular para integrais

A seguinte desigualdade é valida para qualquer função real ${\displaystyle f(x)\,}$ integrável.

${\displaystyle \left|\int _{V}f(x)dx\right|\leq \int _{V}|f(x)|dx}$

Ver também

• SANTOS, José Carlos. Introdução à Topologia. Departamento de Matemática - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Junho de 2010, 171 páginas. Disponível em: <http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/Topologia.pdf>. Acesso em: 12 jan. 2010.

Referências

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