Conjunto convexo

Em um espaço euclidiano, uma região convexa é uma região onde, para cada par de pontos dentro da região, cada ponto no segmento de reta que une o par também está dentro da região.^[1] Por exemplo, um cubo sólido é um conjunto convexo, mas tudo o que é oco ou tem um recuo, por exemplo, uma forma crescente, não é convexo. De forma geral, em geometria convexa, um conjunto convexo é um subconjunto de um espaço afim que é fechado sob combinações convexas.^[2] O limite de um conjunto convexo é sempre uma curva convexa. A interseção de todos os conjuntos convexos contendo um determinado subconjunto A do espaço euclidiano é chamada de invólucro convexo ou envoltória convexa de A. É o menor conjunto convexo contendo A.^[3]

Uma função convexa é uma função de valor real definida em um intervalo com a propriedade que sua epígrafe (o conjunto de pontos no gráfico da função ou acima dela) é um conjunto convexo. A minimização convexa é um subcampo de otimização que estuda o problema de minimizar funções convexas sobre conjuntos convexos. O ramo da matemática dedicado ao estudo de propriedades de conjuntos convexos e funções convexas é chamado de análise convexa. A noção de um conjunto convexo pode ser generalizada como descrito abaixo.^[4]

Um subconjunto X de um espaço afim é convexo quando todo segmento de reta ligando dois pontos de X está contido em X.

Ou seja:

${\displaystyle \forall x,y\in X,\ \forall t\in \left[0,1\right],\ (1-t)\ x+t\ y\in X\,}$

Se o conjunto X não é convexo, diz-se côncavo. Em ${\displaystyle \mathbb {R} }$ convexo é equivalente a conexo, ou seja, os subconjuntos convexos de números reais são os intervalos (incluindo os unitários).

Exemplos

• Espaços afins;^[4]
• Os sólidos platónicos;
• Os segmentos de recta;
• Os subespaços vectoriais de um espaço vectorial;
• O conjunto solução para um número arbitrário de desigualdades lineares, tais como ${\displaystyle a_{\alpha }^{T}\leq b_{\alpha },\alpha \in I}$. Em particular, o conjunto solução de finitas desigualdades lineares ${\displaystyle Ax\leq a}$ para alguma matriz ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ é convexo e é chamado de poliedro;^[4]
• Uma ${\displaystyle \varepsilon }$-vizinhança ${\displaystyle X^{\varepsilon }}$ tal que ${\displaystyle X^{\varepsilon }=\{y:inf_{x\in X}\lVert y-x\rVert \leq \varepsilon \}}$^[4]
• Todas bolas, abertas ou fechadas, no ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.^[5]

Combinação convexa

Uma combinação convexa de um conjunto de pontos ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}\in \mathbb {R} ^{m}}$ é um ponto ${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{m}}$ que satisfaz

$${\displaystyle z=\sum _{j=1}^{n}t_{j}z_{j}}$$

${\displaystyle t_{j}\geq 0,\sum _{j=1}^{n}t_{j}=1}$

Por exemplo, para ${\displaystyle m=2}$, o conjunto de todas as combinações convexas possíveis é o segmento de reta entre os dois pontos.^[3]

Um subconjunto ${\displaystyle S{\mbox{ de }}\mathbb {R} ^{m}}$ é dito convexo se, para cada par de pontos ${\displaystyle s\in S}$, ${\displaystyle S}$ também contém todos pontos do segmento de reta ligando tais pontos. Isto é, ${\displaystyle S}$ é um conjunto convexo se ${\displaystyle S}$ contém todas combinações convexas de todos seus pontos.^[3]

Propriedades

Valem as seguintes propriedades:

• ${\displaystyle X}$ é convexo se, e somente se, toda combinação convexa de pontos pertencentes a ${\displaystyle X}$ pertence a ${\displaystyle X}$.^[4]
• Um conjunto não vazio que é a interseção de (talvez infinitas) um conjunto de conjuntos convexos é um conjunto convexo.
• Se ${\displaystyle C}$ é um conjunto convexo e ${\displaystyle X}$ é uma variável aleatória que pertence a ${\displaystyle C}$ como probabilidade ${\displaystyle 1}$. Então ${\displaystyle \mathbb {E} [X]\in C}$.

Operações que preservam convexidade

• Interseção: se ${\displaystyle C_{\alpha },\alpha \in I}$ são conjuntos convexos, então ${\textstyle \bigcup _{\alpha \in I}C_{\alpha }}$ é convexo.^[4]
• Imagem de um conjunto convexo sob uma função afim: se ${\textstyle C\in \mathbb {R} ^{n}}$ é convexo e ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ é afim, então ${\displaystyle f{\bigl (}C{\bigr )}}$ é convexa. Exemplos: se ${\displaystyle C}$ é convexo então ${\displaystyle C+x_{0}}$ (translação de ${\displaystyle C}$) e ${\textstyle \alpha C}$ (multiplicação por um escalar) são convexos.
• Imagem inversa de um conjunto convexo sob alguma função afim: se ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ é afim e ${\displaystyle C}$ é convexo então ${\textstyle f^{-1}{\bigl (}C{\bigr )}=\{x:f(x)\in C\}}$
• Projeção: a projeção de um conjunto convexo sobre alguma de suas coordenadas é um conjunto convexo: ${\displaystyle C\in \mathbb {R} ^{m+n}}$ é convexo então ${\textstyle \Pi =\{x_{1}\in \mathbb {R} ^{m}:\exists x_{2}\in \mathbb {R} ^{n},(x_{1},x_{2})\in C\}}$ é convexo.
• Soma de dois conjuntos
• Produto cartesiano de dois conjuntos

Ver também

O Wikilivros tem um livro chamado Otimização/Elementos de análise convexa

• Conjunto absolutamente convexo
• Curvas e Superfícies convexas

Referências

Bibliografia

• Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada 

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