Astroide

 Nota: Não confundir com Asteroide.
Um astroide.
A construção do astroide.
O astroide sendo representado como um envelope comum de uma família de elipses traçadas, onde a + b = const.

Um astroide é um tipo específico de curva matemática: uma hipocicloide com quatro vértices. Especificamente, é o lugar geométrico de um ponto num círculo que gira quatro vezes dentro de um círculo fixo num raio.[1][2] Pela geratriz dupla, é também o lugar geométrico de um ponto num círculo, na medida em que gira dentro de um círculo fixo com o raio em 4/3 vezes. Pode igualmente ser definido como uma envoltória de um segmento de reta com um ponto de extremidade em cada um dos eixos. Por conseguinte, é a envoltória da barra móvel do Tresmalho de Arquimedes.

O nome contemporâneo deriva da palavra grega que significa "estrela". Originalmente, foi proposto na forma de "Astrois", pelo astrónomo austríaco Joseph Johann von Littrow em 1838.[3][4] A curva possui vários nomes, que incluem tetracúspide (ainda utilizado), cubocicloide, e paraciclo. É praticamente similar à evoluta de uma elipse.

Equações

Se o raio do círculo fixo for a, então a equação é feita por:[1]

x 2 / 3 + y 2 / 3 = a 2 / 3 . {\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.\,}

Isto implica que um astroide é também uma superelipse.

As equações paramétricas são:

x = a cos 3 ⁡ t = a 4 ( 3 cos ⁡ t + cos ⁡ 3 t ) , {\displaystyle x=a\cos ^{3}t={a \over 4}(3\cos t+\cos 3t),}
y = a sin 3 ⁡ t = a 4 ( 3 sin ⁡ t − sin ⁡ 3 t ) . {\displaystyle y=a\sin ^{3}t={a \over 4}(3\sin t-\sin 3t).}

Uma equação pedal em relação à origem é:

r 2 = a 2 − 3 p 2 , {\displaystyle r^{2}=a^{2}-3p^{2},}

A equação de Whewell é:

s = 3 a 4 cos ⁡ 2 φ , {\displaystyle s={3a \over 4}\cos 2\varphi ,}

E a equação de Cesàro é:

R 2 + 4 s 2 = 9 a 2 4 . {\displaystyle R^{2}+4s^{2}={\frac {9a^{2}}{4}}.}

A equação polar é:[5]

r = a ( cos 2 / 3 ⁡ θ + sin 2 / 3 ⁡ θ ) 3 / 2 . {\displaystyle r={\frac {a}{(\cos ^{2/3}\theta +\sin ^{2/3}\theta )^{3/2}}}.}

O astroide é um lugar geométrico real de uma curva algébrica plana de género zero. Tem a seguinte equação:[6]

( x 2 + y 2 − a 2 ) 3 + 27 a 2 x 2 y 2 = 0. {\displaystyle (x^{2}+y^{2}-a^{2})^{3}+27a^{2}x^{2}y^{2}=0.\,}

O astroide é portanto uma curva algébrica real de sexto grau.

Derivação da equação polinomial

A equação polinomial pode ser derivada da equação de Leibniz através da álgebra elementar:

x 2 / 3 + y 2 / 3 = a 2 / 3 . {\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.\,}

Em ambos os lados do cubo:

x 6 / 3 + 3 x 4 / 3 y 2 / 3 + 3 x 2 / 3 y 4 / 3 + y 6 / 3 = a 6 / 3 {\displaystyle x^{6/3}+3x^{4/3}y^{2/3}+3x^{2/3}y^{4/3}+y^{6/3}=a^{6/3}\,}
x 2 + 3 x 2 / 3 y 2 / 3 ( x 2 / 3 + y 2 / 3 ) + y 2 = a 2 {\displaystyle x^{2}+3x^{2/3}y^{2/3}(x^{2/3}+y^{2/3})+y^{2}=a^{2}\,}
x 2 + y 2 − a 2 = − 3 x 2 / 3 y 2 / 3 ( x 2 / 3 + y 2 / 3 ) {\displaystyle x^{2}+y^{2}-a^{2}=-3x^{2/3}y^{2/3}(x^{2/3}+y^{2/3})\,}

Em ambos os lados do cubo de novo:

( x 2 + y 2 − a 2 ) 3 = − 27 x 2 y 2 ( x 2 / 3 + y 2 / 3 ) 3 {\displaystyle (x^{2}+y^{2}-a^{2})^{3}=-27x^{2}y^{2}(x^{2/3}+y^{2/3})^{3}\,}

Mas desde que:

x 2 / 3 + y 2 / 3 = a 2 / 3 {\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\,}

Siga assim:

( x 2 / 3 + y 2 / 3 ) 3 = a 2 . {\displaystyle (x^{2/3}+y^{2/3})^{3}=a^{2}.\,}

Sendo:

( x 2 + y 2 − a 2 ) 3 = − 27 x 2 y 2 a 2 {\displaystyle (x^{2}+y^{2}-a^{2})^{3}=-27x^{2}y^{2}a^{2}\,}

ou:

( x 2 + y 2 − a 2 ) 3 + 27 x 2 y 2 a 2 = 0. {\displaystyle (x^{2}+y^{2}-a^{2})^{3}+27x^{2}y^{2}a^{2}=0.\,}

Propriedades métricas

Uma área envolvente[1]
3 8 π a 2 {\displaystyle {\frac {3}{8}}\pi a^{2}}
Comprimento da curva
6 a {\displaystyle 6a}
O volume da superfície de revolução da área envolvente sobre o eixo x.
32 105 π a 3 {\displaystyle {\frac {32}{105}}\pi a^{3}}
A área da superfície de revolução sobre o eixo x
12 5 π a 2 {\displaystyle {\frac {12}{5}}\pi a^{2}}

Propriedades

O astroide tem quatro vértices nas singularidades do plano real, os pontos da estrela. Possui mais duas singularidades complexas na infinidade, e quatro pontos duplos complexos, tendo um total de dez singularidades.

A curva dupla relativa ao astroide é a curva cruciforme, com a equação: x 2 y 2 = x 2 + y 2 . {\displaystyle \textstyle x^{2}y^{2}=x^{2}+y^{2}.} A evoluta de um astroide é duas vezes maior.

Ver também

  • Cardioide
  • Nefroide
  • Curva deltoide
  • Astroide de Stoner–Wohlfarth

Referências

  1. ↑ a b c Yates, R.C. (1952). «Astroid». A Handbook on Curves and Their Properties (em inglês). Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. p. 1 ff. 
  2. ↑ Nunes, Paulo (1 de dezembro de 2015). «Astroide». Knoow.net 
  3. ↑ Littrow, Joseph Johann von (1838). «§99. Die Astrois». Kurze Anleitung zur gesammten Mathematik (em alemão). Viena: [s.n.] p. 299 
  4. ↑ Loria, Gino (1902). Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte (em alemão). Lípsia: [s.n.] p. 224 
  5. ↑ Weisstein, Eric W. «Astroid» (em inglês). MathWorld 
  6. ↑ «Astroid ∗» (PDF) (em inglês). Xah Code. p. 3. Consultado em 11 de março de 2019 
  • Lawrence, J. Dennis (1972). A catalog of special plane curves (em inglês). [S.l.]: Dover Publications. p. 4–5,34–35,173–174. ISBN 0-486-60288-5 
  • D, Wells (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry (em inglês). Nova Iorque: Penguin Books. p. 10–11. ISBN 0-14-011813-6 

Ligações externas

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  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Astroide», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
  • «Astroide» (em inglês). na Universidade de St Andrews 
  • «Astroide» (em francês). na Enciclopédia das Formas Notáveis [ligação inativa] 
  • «Astroide» (em inglês). na 2dcurves.com 
  • «Astroide» (em inglês). no Dicionário Visual de Curvas Planas Especiais 
  • «Barras de um astroide» (em inglês). no Wolfram Demonstrations Project de Sándor Kabai 


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