Índice múltiplo

A notação matemática de índices múltiplos simplifica a formulação utilizada em cálculo com múltiplas variáveis, equações diferenciais parciais e na teoria das distribuições. Ela consiste na generalização de um índice inteiro para ordenar índices de tuplas.[1]

Definição

Um índice múltiplo n-dimensional é uma n-tupla da forma

α = ( α 1 , α 2 , … , α n ) {\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}

de inteiros não negativos. Para índices múltiplos α , β ∈ N 0 n {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}} e x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) ∈ R n {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} se define:

  • Soma e diferença
α ± β = ( α 1 ± β 1 , α 2 ± β 2 , … , α n ± β n ) {\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}
  • Conjunto parcialmente ordenado
α ≤ β ⇔ α i ≤ β i ∀ i ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}}
  • Soma de componentes
| α | = α 1 + α 2 + ⋯ + α n {\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}
  • Fatorial
α ! = α 1 ! ⋅ α 2 ! ⋯ α n ! {\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}
  • Coeficiente binomial
( α β ) = ( α 1 β 1 ) ( α 2 β 2 ) ⋯ ( α n β n ) = α ! β ! ( α − β ) ! {\displaystyle {\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}}
  • Teorema multinomial
( k α ) = k ! α 1 ! α 2 ! ⋯ α n ! = k ! α ! {\displaystyle {\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha !}}} onde | α | = k {\displaystyle |\alpha |=k\,}
x α = x 1 α 1 x 2 α 2 … x n α n {\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}
  • Derivada parcial
∂ α = ∂ 1 α 1 ∂ 2 α 2 … ∂ n α n {\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}} onde ∂ i α i := ∂ α i / ∂ x i α i {\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}

Referências

  1. ↑ Xavier, Saint Raymond (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators (em inglês). [S.l.]: CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9  A referência emprega parâmetros obsoletos |lingua2= (ajuda)

Ligações externas

  • Este artigo incorpora material de Índice múltiplo do PlanetMath, que é licenciado sob GFDL.
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