Widmo sygnału

Widmo sygnału (ściślej widmo częstotliwościowe sygnału) – przedstawienie sygnału w dziedzinie częstotliwości lub pulsacji, otrzymane przy pomocy transformacji Fouriera, ${\displaystyle F(j\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}.}$ Widmem sygnału nazywa się zarówno samą transformatę Fouriera ${\displaystyle F(j\omega )}$ (wynik transformacji Fouriera), jak i wykres przedstawiający tę transformatę. Dziedziną funkcji ${\displaystyle F(j\omega )}$ jest zbiór ciągły wartości rzeczywistych, czyli ${\displaystyle \omega \in (-\infty ,+\infty ).}$

Wykres widma jest graficznym przedstawieniem transformaty Fouriera jako funkcji częstotliwości lub pulsacji. Z wykresu tego można przykładowo odczytać, jakie składowe harmoniczne wchodzą w skład danego sygnału, czy sygnał ma ograniczone pasmo, jaka jest szerokość jego pasma, czy zawiera składowe wolnozmienne (o małych częstotliwościach) oraz szybkozmienne (o wielkich częstotliwościach).

Widmo amplitudowe i fazowe

Ponieważ transformata Fouriera ${\displaystyle F(j\omega )}$ jest w ogólności funkcją o wartościach zespolonych, zatem przy wykonywaniu wykresów widma wygodne jest niezależne przedstawianie modułu ${\displaystyle M(\omega )=|F(j\omega )|}$ oraz argumentu ${\displaystyle \Theta (\omega )=\arg\{F(j\omega )\}.}$ Wykres widma amplitudowego (wykres modułu) pokazuje, jakie są amplitudy składowych widmowych sygnału o różnych częstotliwościach. Wykres widma fazowego (wykres argumentu) pokazuje, jakie są fazy tych składowych.

Widma sygnałów o określonych cechach

Widma sygnałów posiadają własności bezpośrednio wynikające z własności transformacji Fouriera:

• jeśli sygnał ma wartości rzeczywiste, to widmo posiada symetrię sprzężoną (hermitowską), to znaczy ${\displaystyle F(j\omega )=F^{*}(-j\omega ),}$ a z tego wynika, że widmo amplitudowe jest funkcją parzystą, czyli ${\displaystyle M(\omega )=M(-\omega ),}$ a widmo fazowe jest funkcją nieparzystą, czyli ${\displaystyle \Theta (\omega )=-\Theta (-\omega );}$
• dla sygnałów o wartościach rzeczywistych, które są parzyste w dziedzinie czasu, to znaczy ${\displaystyle f(t)=f(-t),}$ ich widmo jest rzeczywiste, czyli ${\displaystyle \mathrm {Im} \{F(j\omega )\}=0;}$
• dla sygnałów o wartościach rzeczywistych, które są nieparzyste w dziedzinie czasu, to znaczy ${\displaystyle f(t)=-f(-t),}$ ich widmo jest funkcją urojoną, czyli ${\displaystyle \mathrm {Re} \{F(j\omega )\}=0.}$

W zależności od szczególnych cech sygnału, jego widmo posiada odpowiednie własności:

• widmo sygnału nieokresowego jest funkcją ciągłą (choć może również zawierać impulsy Diraca);
• widmo sygnału okresowego o częstotliwości ${\displaystyle f_{0}}$ składa się wyłącznie z impulsów Diraca (takie widmo określa się mianem widma prążkowego lub dyskretnego) występujących na osi częstotliwości w punktach odpowiadających całkowitym wielokrotnościom jego częstotliwości, ${\displaystyle kf_{0},}$ gdzie ${\displaystyle k\in \mathbb {C} ;}$
• widmo sygnału ciągłego jest funkcją nieokresową;
• widmo sygnału dyskretnego jest funkcją okresową.

Zobacz też

• widmowa gęstość mocy

Bibliografia

• J. Szabatin, Podstawy teorii sygnałów, wyd. V, WKiŁ, 2007, ISBN 978-83-206-1331-5.
• Tomasz P. Zieliński, Cyfrowe przetwarzanie sygnałów: od teorii do zastosowań, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, wyd. 2 popr., Warszawa 2007, ISBN 978-83-206-1640-8.
• Tomasz P. Zieliński, Od teorii do cyfrowego przetwarzania sygnałów, Wydział EAIiE AGH, Kraków 2000.
• MarianM. Pasko MarianM., JanuszJ. Walczak JanuszJ., Teoria sygnałów, Gliwice: Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, 2003, ISBN 83-7335-054-3, OCLC 749228854 . Brak numerów stron w książce
• R. Gabel, R. Roberts, Sygnały i systemy liniowe, WKiŁ.
• R. Lathi, Sygnały i systemy telekomunikacyjne, WNT, 1972.
• A. Papoulis, Sygnały i obwody, WKiŁ, 1988.
• J. Izydorczyk, G. Płonka, G. Tyma, Teoria sygnałów. Wstęp, wyd. 2, Wydawnictwo Helion, 2006.
• A. Oppenheim, A. Willsky, I. Young, Signals and systems, wyd. 2, Prentice Hall, 1996, ISBN 978-0138147570.