Test Wilcoxona dla par obserwacji

Test Wilcoxona dla par obserwacji – nieparametryczna alternatywa dla testu t-Studenta dla przypadku dwóch równolicznych prób dających się połączyć w pary. Często używa się tego testu do porównywania danych zebranych przed i po eksperymencie w celu zbadania, czy nastąpiła istotna statystycznie zmiana.

Porównanie z testem t-Studenta

O ile test t-Studenta sprawdza hipotezę zerową o równości średnich arytmetycznych w odpowiadających im populacjach, test Wilcoxona weryfikuje równość median.

Jak test t-Studenta, test Wilcoxona bazuje na różnicach między wartościami cech z porównywanych zbiorów, stąd również wymaga zmiennych na skali interwałowej. W przeciwieństwie jednak do testu t-Studenta nie posiada założeń dotyczących rozkładu próby. Może zatem być używany w sytuacjach, gdy założenia testu t-Studenta nie są spełnione.

Dane

Załóżmy, że zebraliśmy ${\displaystyle 2n}$ obserwacji, po dwie dla każdego z n przypadków. Niech ${\displaystyle i}$ będzie indeksem danego przypadku, ${\displaystyle x_{i}}$ będzie pierwszą, a ${\displaystyle y_{i}}$ drugą obserwacją przypadku ${\displaystyle i.}$

Założenia

1. Niech ${\displaystyle d_{i}=y_{i}-x_{i}}$ dla ${\displaystyle i=1\dots n.}$ Zakłada się, że różnice ${\displaystyle d_{i}}$ są niezależne.
2. Każda różnica ${\displaystyle d_{i}}$ pochodzi z populacji o identycznym ciągłym rozkładzie, symetryczny względem wspólnej mediany ${\displaystyle \theta }$

Wyliczanie statystyki Wilcoxona

Testowaną hipotezą zerową jest:

${\displaystyle H_{0}:\theta =0}$

Algorytm wyliczania statystyki testu Wilcoxona:

• wyliczenie różnic ${\displaystyle d_{i}}$
• uporządkowanie wartości bezwzględnych ${\displaystyle |d_{1}|,\dots |d_{n}|}$
• zrangowanie tak otrzymanego zbioru i oznaczenie rang przez ${\displaystyle R_{i}.}$ Rangi związane uzyskują wartość średnią.
• zdefiniowanie statystyki ${\displaystyle W^{+}}$ jako sumy rang ${\displaystyle R_{i},}$ dla których ${\displaystyle d_{i}>0.}$

Niekiedy wykonuje się dalsze kroki:

• Analogicznie obliczana jest statystyka ${\displaystyle W^{-},}$ czyli suma rang, dla których ${\displaystyle d_{i}<0.}$
• Statystyka ${\displaystyle S}$ jest obliczana jako:

${\displaystyle S=min(W^{+},W^{-}).}$

Właściwości statystyki Wilcoxona

Właściwości statystyki ${\displaystyle W^{+}{:}}$

• wartość oczekiwana:

${\displaystyle \mathbb {E} W^{+}={\frac {n(n+1)}{4}}}$

• wariancja:

${\displaystyle \operatorname {Var} \ W^{+}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{24}}}$

• Dla dowolnej liczby ${\displaystyle t{:}}$

${\displaystyle \operatorname {P} \left({\frac {W^{+}-\mathbb {E} W^{+}}{\sqrt {Var\ W^{+}}}}\leqslant t\right)\to \Phi (t)\quad {}}$ gdy ${\displaystyle {}\,n\to \infty }$

Zobacz w Wikiźródłach tablicę rozkładu normalnego

Do obliczenia wartości p dla prób o małej liczności (zwykle przyjmuje się ${\displaystyle n\leqslant 20}$) korzysta się z tablic statystycznych. Dla dużych prób używa się przybliżenia rozkładem normalnym, z parametrami podanymi wyżej.

Historia

Twórcą testu był Frank Wilcoxon (1892–1965), który zaproponował go w jednym artykule (Wilcoxon, 1945) z innym testem, zwanym obecnie testem Manna-Whitneya (lub testem Wilcoxona dla dwóch prób).

Test Wilcoxona był spopularyzowany przez Siegla (1956) w jego wpływowym podręczniku statystyki nieparametrycznej. Siegel używał symbolu ${\displaystyle T}$ dla wielkości oznaczanej powyżej przez ${\displaystyle S.}$ W konsekwencji test czasami jest nazywany testem T Wilcoxona, a statystyka testowa jest podawana jako wartość ${\displaystyle T.}$

Bibliografia

• Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. Warszawa: WNT, 2001, s. 467–471. ISBN 83-204-2684-7.
• Sidney Siegel: Non-parametric statistics for the behavioral sciences. Nowy York: McGraw-Hill, 1956. Brak numerów stron w książce
• Frank Wilcoxon: Individual comparisons by ranking methods. Biometrics, 1945, s. 1, 80-83.

Linki zewnętrzne

• Metoda wyliczania p dla testu Wilcoxona (ang.)
• Przykład zastosowania testu Wilcoxona. faculty.vassar.edu. [zarchiwizowane z tego adresu (2017-06-04)]. (ang.)
• Wersja testu online. faculty.vassar.edu. [zarchiwizowane z tego adresu (2008-02-18)]. (ang.)

Implementacje

• ALGLIB zawiera implementację testu Wilcoxona w C++, C#, Delphi, Visual Basicu itp.