Grupa multiplikatywna

Ten artykuł dotyczy grupy w zapisie multiplikatywnym. Zobacz też: pierścień (matematyka), ciało (matematyka), algebra nad ciałem.
  • w teorii grup: grupa w zapisie multiplikatywnym[a] – grupa, w której działanie grupowe zapisywane jest za pomocą znaku ⋅ , {\displaystyle \cdot ,} branie elementu odwrotnego przez −1, element neutralny zaś oznaczony jest przez 1 {\displaystyle 1} [1];
  • w teorii pierścieni, ciał, algebr grupa multiplikatywna[a] ( R ∗ , ⋅ ) {\displaystyle (R^{*},\cdot )} pierścienia, ciała, algebry łącznej R {\displaystyle R} to zbiór elementów odwracalnych pierścienia, ciała, algebry łącznej z działaniem mnożenia[2]; często używane oznaczenia: R ∗ , {\displaystyle R^{*},} R ⋅ , {\displaystyle R^{\cdot },} U ( R ) ; {\displaystyle U(R);}
    R ∗ = { x ∈ R : ∃ y ∈ R [ x y = 1 ] } ; {\displaystyle R^{*}=\{x\in R:\exists _{y\in R}\left[xy=1\right]\};}

R {\displaystyle R} jest pierścieniem z dzieleniem (algebrą łączną z dzieleniem) wtedy i tylko wtedy, gdy R ∗ = R ∖ { 0 } ; {\displaystyle R^{*}=R\setminus \{0\};} w przeciwnym razie zbiór R ∗ {\displaystyle R^{*}} jest mniejszy, np. Z ∗ = { 1 , − 1 } ; {\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}=\{1,-1\};}

  • algebraiczny torus G L 1 {\displaystyle GL_{1}} jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego pojęcia snopa G m , {\displaystyle \mathbb {G} _{m},} ale pojawia się często poza geometrią algebraiczną pod nazwą grupa multiplikatywna; jest rozmaitością grupową.
  • w geometrii algebraicznej: snop grup abelowych G m {\displaystyle \mathbb {G} _{m}} reprezentowany przez schemat grupowy S p e c Z [ X , X − 1 ] ; {\displaystyle \mathrm {Spec} \mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right];} grupą przekrojów tego snopa nad afinicznym zbiorem otwartym S p e c R {\displaystyle \mathrm {Spec} R} jest grupa homomorfizmów pierścieni Z [ X , X − 1 ] → R {\displaystyle \mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right]\to R} [3]; ta grupa jest naturalnie izomorficzna z grupą R ∗ : {\displaystyle R^{*}{:}} homomorfizmowi f : Z [ X , X − 1 ] → R {\displaystyle f:\mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right]\to R} odpowiada jednoznacznie element f ( X ) , {\displaystyle f(X),} przy czym f ( X ) f ( X − 1 ) = 1 ; {\displaystyle f(X)f(X^{-1})=1;}

Sam schemat S p e c Z [ X , X − 1 ] {\displaystyle \mathrm {Spec} \mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right]} też jest nazywany grupą multiplikatywną.

Zobacz też

Uwagi

  1. ↑ a b W dawniejszych publikacjach stosowano przymiotnik multyplikatywny, który później przyjął postać multiplikatywny, prawdopodobnie od angielskiego przymiotnika multiplicative. W języku staropolskim słowo multyplikacja oznaczało „mnożenie”. Później słowniki ortograficzne zaczęły dopuszczać już tylko formę multi-.

Przypisy

  1. ↑ M.I. Kargapołow, J.I. Mierzliakow, Podstawy teorii grup, PWN 1976, s. 14.
  2. ↑ Andrzej Białynicki-Birula Zarys algebry, PWN 1987, s. 47.
  3. ↑ Davis Mumford, Abelian Varieties, Bombay 1968, III§11.

Linki zewnętrzne

  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Multiplicative Group, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-04-16].
  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Multiplicative group (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-11].