Algebra wolna

Algebra wolna – uogólnienie pojęcia pierścienia wielomianów na nieprzemienne struktury algebraiczne.

Definicja

Niech ${\displaystyle K}$ będzie klasą algebr ogólnych tego samego typu oraz niech ${\displaystyle A\in K.}$ Podzbiór ${\displaystyle S\subseteq A}$ nazywamy zbiorem wolnych generatorów algebry ${\displaystyle A}$ w klasie ${\displaystyle K}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego przekształcenia ${\displaystyle f\colon S\to B\in K}$ istnieje dokładnie jeden taki homomorfizm ${\displaystyle h\colon A\to B,}$ że

${\displaystyle h|_{S}=f.}$

Jeśli dla danej algebry ${\displaystyle A}$ istnieje jej zbiór wolnych generatorów w klasie ${\displaystyle K,}$ to nazywamy ją algebrą wolną w klasie ${\displaystyle K.}$

Innymi słowy, zbiór wolnych generatorów algebry, to taki jej podzbiór, że każde jego przekształcenie w inną algebrę tego samego typu da się jednoznacznie przedłużyć do homomorfizmu na całą algebrę.

Własności

• Jeśli ${\displaystyle K}$ jest klasą algebr, a ${\displaystyle S}$ jest zbiorem wolnych generatorów algebry ${\displaystyle A}$ w klasie ${\displaystyle K,}$ to ${\displaystyle S}$ generuje algebrę ${\displaystyle A,}$ tzn. ${\displaystyle A}$ jest najmniejszą w sensie inkluzji algebrą zawierającą zbiór ${\displaystyle S.}$
• Jeśli ${\displaystyle K}$ jest klasą algebr, ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ zbiorami wolnych generatorów algebr ${\displaystyle A_{1},A_{2}}$ w klasie ${\displaystyle K,}$ to każde przekształcenie ${\displaystyle f\colon S_{1}\to S_{2}}$ można jednoznacznie przedłużyć do homomorfizmu ${\displaystyle h\colon A_{1}\to A_{2}.}$ Homomorfizm ${\displaystyle h}$ jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle f}$ jest bijekcją.
• Jeśli ${\displaystyle A_{1},A_{2}}$ są algebrami wolnymi w ${\displaystyle K}$ oraz ich zbiory wolnych generatorów są równoliczne, to algebry te są izomorficzne.

Przykłady

• Przykładem algebry wolnej jest grupa wolna. Każda podgrupa grupy wolnej jest grupą wolną.
• Baza przestrzeni liniowej jest zbiorem wolnych generatorów (twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie) – innymi słowy, przestrzenie liniowe są modułami wolnymi nad ciałami.

Bibliografia

• Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987.brak strony w książce

Linki zewnętrzne

• Free algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].