Łuk regularny

Łuk regularny – rodzaj krzywej opisanej parametrycznie:

${\displaystyle {\big (}x(t),y(t){\big )},}$ gdzie ${\displaystyle t\in [\alpha ,\beta ]}$

lub ogólniej, w przestrzeni n-wymiarowej:

${\displaystyle {\big (}z_{1}(t),\dots ,z_{n}(t){\big )},}$ gdzie ${\displaystyle t\in [\alpha ,\beta ].}$

Łuk regularny jest zdefiniowany przez spełnianie zestawu warunków:

• nie ma punktów wielokrotnych, tzn. różnym wartościom ${\displaystyle t}$ odpowiadają różne punkty krzywej (różnowartościowość, in. iniekcyjność);
• funkcje te mają w przedziale ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$ pochodne o pewnych własnościach:

• pochodne te są ciągłe;
• te pochodne nie zerują się jednocześnie, tzn.

${\displaystyle {\big (}x'(t){\big )}^{2}+{\big (}y'(t){\big )}^{2}>0}$

lub odpowiednio, w przestrzeni n-wymiarowej:

${\displaystyle {\big (}z_{1}'(t){\big )}^{2}+\ldots +{\big (}z_{n}'(t){\big )}^{2}>0}$

dla każdego ${\displaystyle t\in [\alpha ,\beta ]}$^[1].

Własności

Łuk regularny ma w każdym swoim punkcie styczną^[2]. Każdy łuk regularny jest łukiem zwykłym oraz krzywą prostowalną, której długość wyraża się wzorem^[1]:

${\displaystyle |L|=\int \limits _{\alpha }^{\beta }{{\sqrt[{}]{{\big (}x'(t){\big )}^{2}+{\big (}y'(t){\big )}^{2}}}\;dt}.}$

Każdy punkt leżący na tej krzywej nazywany jest punktem regularnym.

Zobacz też

• lista krzywych
• łuk krzywej
• łuk zwykły

Przypisy