Wortel 5

Irrationale getallen: ζ(3) √2 √3 √5 φ e π
√5 uitgedrukt in verschillende getalstelsels
Binair	10,0011 1100 0110 1111…
Decimaal	2,23606 79774 99789 69…
Zestientallig	2,3C6E F372 FE94 F82C…
Als kettingbreuk	${\displaystyle 2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+\ddots }}}}}}}}}$

Wortel 5 is het positieve reële getal dat vermenigvuldigd met zichzelf het getal 5 oplevert. Het heeft een waarde van ongeveer 2,23607 en wordt wel de hoofdwaarde van wortel 5 genoemd, om verwarring te voorkomen met het negatieve getal (ongeveer -2,23607) dat gekwadrateerd ook 5 geeft. Wortel 5 wordt genoteerd als √5 en komt voor in de uitdrukking voor de gulden snede. Zoals √3 de lengte van de lichaamsdiagonaal van een kubus in de ruimte volgens de stelling van Pythagoras, is √5 de lengte van de lichaamsdiagonaal van een hyperkubus in de vijfdimensionale ruimte. Volgens de definitie van machten met een gebroken macht (exponent) is √5 gelijk aan ${\displaystyle 5^{\frac {1}{2}}}$.

√5 kan niet geschreven worden als een breuk van gehele getallen en is daarmee een irrationaal getal.^[1] De eerste 60 significante cijfers van de decimale weergave zijn

2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089 ^[2]

De afronding tot 2,236 is 99,99% precies. Een goede benadering van √5 is 161/72 ≈ 2,23611, met een verschil met de exacte waarde van minder dan 1/10.000, ongeveer 4,3 x 10⁻⁵, ondanks de kleine noemer van maar 72. In december 2013 was √5 berekend tot ten minste tien miljard decimalen.^[3]

Bewijs dat √5 irrationaal is

Uit het ongerijmde,

Veronderstel dat ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ wel rationaal is , dus te schrijven als ${\displaystyle {\sqrt {5}}={\frac {m}{n}}}$, met ${\displaystyle m}$ en ${\displaystyle n}$ relatief priem, dus zonder gemeenschappelijke factor. Kwadrateren levert:

${\displaystyle 5n^{2}=m^{2}}$,

dus ${\displaystyle m}$ is een veelvoud van 5, stel ${\displaystyle m=5p}$. Maar dan is

${\displaystyle n^{2}=5p^{2}}$,

dus is ook ${\displaystyle n}$ een vijfvoud ${\displaystyle n=5q}$. Dit is in tegenspraak met het veronderstelde.

Kettingbreuk

√5 kan geschreven worden als de kettingbreuk

${\displaystyle [2;4,4,4,4,4,\ldots ]=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+\ddots }}}}}}}}.}$ ^[4]

De convergenten en semiconvergenten van deze kettingbreuk zijn (de zwarte termen zijn de semiconvergenten):

${\displaystyle {\color {red}{\frac {2}{1}}},{\frac {7}{3}},{\color {red}{\frac {9}{4}}},{\frac {20}{9}},{\frac {29}{13}},{\color {red}{\frac {38}{17}}},{\frac {123}{55}},{\color {red}{\frac {161}{72}}},{\frac {360}{161}},{\frac {521}{233}},{\color {red}{\frac {682}{305}}},{\frac {2207}{987}},{\color {red}{\frac {2889}{1292}}},\dots }$

Convergenten zijn rood; hun tellers zijn 2, 9, 38, 161, ...^[5] en hun noemers zijn 1, 4, 17, 72, ...^[6]

Het zijn allemaal de beste rationale benaderingen van √5, dat wil zeggen dat de benadering van √5 beter is dan met een breuk met een kleinere noemer.

Babylonische methode

Als √5 wordt berekend met de Babylonische methode (iteratie), te beginnen met r₀ = 2 en met r_n+1 = 1/2 (r_n + 5/r_n) voor n = 0, 1, 2, 3, .., dan is de nde benadering r_n gelijk aan de ${\displaystyle 2^{n}}$-de convergent van een convergerende rij:

${\displaystyle {\frac {2}{1}}=2{,}0;\quad {\frac {9}{4}}=2{,}25;\quad {\frac {161}{72}}=2{,}23611\ldots ;\quad {\frac {51841}{23184}}=2{,}2360679779\ldots }$

Geneste kwadraten

Deze geneste kwadraten convergeren naar ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {5}}&=3-10\left({\frac {1}{5}}+\left({\frac {1}{5}}+\left({\frac {1}{5}}+\left({\frac {1}{5}}+\ldots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\\&={\frac {9}{4}}-4\left({\frac {1}{16}}-\left({\frac {1}{16}}-\left({\frac {1}{16}}-\left({\frac {1}{16}}-\ldots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\\&={\frac {9}{4}}-5\left({\frac {1}{20}}+\left({\frac {1}{20}}+\left({\frac {1}{20}}+\left({\frac {1}{20}}+\ldots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\end{aligned}}}$

Verband met de gulden snede en de Rij van Fibonacci

De gulden snede φ is het rekenkundig gemiddelde van 1 en ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$.^[7] Het algebraische verband tussen √5, de gulden snede en zijn geconjugeerde (Φ = –1/φ = 1 − φ) is:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {5}}&=\varphi -\Phi =2\varphi -1=1-2\Phi \\[5pt]\varphi &={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\\[5pt]\Phi &={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}.\end{aligned}}}$

(Zie onder voor de meetkundige betekenis in een rechthoek met zijde ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$.)

${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ komt van nature voor in de expliciete uitdrukking voor de getallen in de Rij van Fibonacci:

${\displaystyle F(n)={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}.}$

Het quotiënt van ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ en φ (of het product van ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ en Φ), en zijn reciproke (1/Φ), levert een interessante kettingbreuk en is verwant aan de verhouding tussen getallen in de Rij van Fibonacci en in de Rij van Lucas:^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sqrt {5}}{\varphi }}=\Phi \cdot {\sqrt {5}}={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}&=1,3819660112501051518\dots \\{\frac {\varphi }{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\Phi \cdot {\sqrt {5}}}}={\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}&=0,72360679774997896964\ldots \\&=[0;1,2,1,1,1,1,1,1,\ldots ].\end{aligned}}}$

De reeks van convergenten naar deze waarden heeft de reeks van de Rij van Fibonacci en de Rij van Lucas als tellers en noemers en omgekeerd:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{1,{\frac {3}{2}},{\frac {4}{3}},{\frac {7}{5}},{\frac {11}{8}},{\frac {18}{13}},{\frac {29}{21}},{\frac {47}{34}},{\frac {76}{55}},{\frac {123}{89}}},\ldots \ldots [1;2,1,1,1,1,1,1,1,\ldots ]\\[8pt]&{1,{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{7}},{\frac {8}{11}},{\frac {13}{18}},{\frac {21}{29}},{\frac {34}{47}},{\frac {55}{76}},{\frac {89}{123}}},\dots \dots [0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ].\end{aligned}}}$

Meetkunde

Meetkundig is √5 de lengte van de diagonaal van een rechthoek met zijden ter lengte 1 en 2 vanwege de Stelling van Pythagoras. Zo'n rechthoek is te maken door een vierkant te halveren, of door twee gelijke vierkanten naast elkaar te zetten. Met het verband tussen √5 en het gulden getal φ = (1 + √5) / 2 = 1,618 ...vormt dit het uitgangspunt voor de meetkundige constructie van een gulden rechthoek uit een vierkant en voor de constructie van een regelmatige vijfhoek (want de verhouding van een zijde tot de diagonaal van een vijfhoek is gelijk aan φ). √5 is ook de lengte van de diagonaal van een kubus met zijden ter lengte 1.

Een rechthoek met verhoudingen van de zijdes 1:√5 kunnen we een wortel 5 rechthoek noemen. Deze past in een reeks rechthoeken met wortels, een deelverzameling van de dynamische rechthoeken van de kunstenaar Jay Hambidge, die uitgaan van √1 (= 1), √2, √3, √4 (= 2), √5… en gemaakt worden door achtereenvolgens de diagonaal van de vorige rechthoek te gebruiken, te beginnen met een vierkant.^[9] Een wortel 5 rechthoek is bijzonder omdat hij gesplitst kan worden in een vierkant en twee gulden rechthoeken (met afmetingen Φ × 1) waarin Φ = 1/φ = φ - 1 = 0,618... of in gulden rechthoeken van verschillende groottes (met afmetingen Φ × 1 en 1 × φ).^[10]

Zo'n rechthoek met verhoudingen van de zijdes 1:√5 kan ook gezien worden als de vereniging van twee gelijke gulden rechthoeken (met afmetingen 1 × φ) waarvan de doorsnee een vierkant is. Dit kan gezien worden als de meetkundige uitleg van het algebraische verband tussen √5, φ en Φ. De rechthoek met wortel vijf kan opgebouwd worden uit een 1:2 rechthoek of meteen uit een vierkant net als de methode voor de gulden rechthoek (zie de figuur) maar dan door de booglengte √5/2 naar beide kanten uit te breiden.

Goniometrie

Net als √2 en √3 komt √5 vaak voor in goniometrische uitdrukkingen, bijvoorbeeld in de sinus- en cosinuswaarden voor alle hoeken in graden die deelbaar zijn door 3 maar niet door 15.^[11] De eenvoudigste zijn

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}-1)={\frac {1}{{\sqrt {5}}+1}},\\[5pt]\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}},\\[5pt]\sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}+1)={\frac {1}{{\sqrt {5}}-1}},\\[5pt]\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\,.\end{aligned}}}$

Dit soort berekeningen was vroeger, voor het tijdperk van de zakrekenmachine, handig om goniometrische tabellen op te stellen. Maar ze zijn nog steeds nuttig om problemen met goniometrie exact op te lossen. Omdat √5 te maken heeft met rechthoeken in halve vierkanten (zijden ter lengte 1 en 2, dus met Pythagoras schuine zijde √5) en regelmatige vijfhoeken, duikt √5 op in formules voor meetkundige figuren die van ze afgeleid worden, zoals voor de inhoud van een dodecaëder (regelmatig twaalfvlak).

Diofantische benaderingen

De Stelling van Hurwitz in de getaltheorie over Diofantische benaderingen beweert dat elk irrationaal getal x met oneindig veel rationale getallen ${\displaystyle m/n}$ benaderd kan worden (waarbij die breuk die niet verder vereenvoudigd kan worden) zodat

${\displaystyle \left|x-{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}}$

en dat √5 de krapste afschatting geeft, in de zin dat voor elke grotere constante dan √5 er een paar irrationale getallen x zijn waarvoor maar eindig veel benaderingen bestaan ^[12]

Verwant aan de stelling van Hurwitz is een andere stelling ^[13] dat voor elk drietal opeenvolgende convergenten van een kettingbreuk ${\displaystyle p_{i}/q_{i}}$, ${\displaystyle p_{i+1}/q_{i+1}}$, ${\displaystyle p_{i+2}/q_{i+2}}$, van een getal α, ten minste een van de volgende drie ongelijkheden geldt:

${\displaystyle \left|\alpha -{p_{i} \over q_{i}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i}^{2}},\qquad \left|\alpha -{p_{i+1} \over q_{i+1}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+1}^{2}},\qquad \left|\alpha -{p_{i+2} \over q_{i+2}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+2}^{2}}}$

√5 in de noemer is de scherpst mogelijke grens voor de convergenten van de gulden snede. Een scherpere afschatting blijkt niet mogelijk te zijn door te kijken naar de vierde of latere convergenten.^[13]

Algebra

De ring ℤ[√5] bevat getallen van de vorm a + b √-5, met a en b gehele getallen en √-5 het imaginaire getal i√5. Deze ring wordt vaak genoemd als voorbeeld van een integriteitsdomein dat geen uniek factorisatiedomein is. Het getal 6 kan binnen deze ring op twee manieren in factoren gesplitst worden:

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5}})(1+{\sqrt {-5}}).\,}$

Het lichaam ℚ[√-5] is net als elk ander kwadratisch veld een Abelse uitbreiding van de rationale getallen (de breuken). De stelling van Kronecker en Weber garandeert dat wortel 5 geschreven kan worden als een rationale lineaire combinatie van eenheidswortels:

${\displaystyle {\sqrt {5}}=e^{{\frac {2\pi }{5}}i}-e^{{\frac {4\pi }{5}}i}-e^{{\frac {6\pi }{5}}i}+e^{{\frac {8\pi }{5}}i}.\,}$

Gelijkheden van Ramanujan

Wortel 5 komt voor in verschillende gelijkheden met kettingbreuken die Srinivasa Ramanujan ontdekte.^[14][15]

Bijvoorbeeld dit geval van de Rogers–Ramanujan kettingbreuk:

${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{\frac {2\pi }{5}}=e^{\frac {2\pi }{5}}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).}$

${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-6\pi {\sqrt {5}}}}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({{\sqrt {5}} \over 1+{\sqrt[{5}]{5^{\frac {3}{4}}(\varphi -1)^{\frac {5}{2}}-1}}}-\varphi \right)e^{\frac {2\pi }{\sqrt {5}}}.}$

${\displaystyle 4\int _{0}^{\infty }{\frac {xe^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$

Bronnen, noten en/of referenties ↑ (en) Dauben, Joseph W. (June 1983) Scientific American Georg Cantor and the origins of transfinite set theory. Volume 248; Page 122. ↑ (en) A002163 in de On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, de databank van rijen van gehele getallen. ↑ (en) Lukasz Komsta: Computations page ↑ (en) A040002 in de On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, de databank van rijen van gehele getallen. ↑ (en) A001077 in de On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, de databank van rijen van gehele getallen. ↑ (en) A001076 in de On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, de databank van rijen van gehele getallen. ↑ (en) Browne, Malcolm W. Puzzling Crystals Plunge Scientists into Uncertainty, New York Times, 30 juli 1985, Section C; Page 1. Dit artikel wordt vaak aangehaald. ↑ (en) Richard K. Guy: The Strong Law of Small Number, American Mathematical Monthly, vol. 95, 1988, pp. 675–712 ↑ (en) Kimberly Elam (2001). Geometry of Design: Studies in Proportion and Composition. Princeton Architectural Press, New York. ISBN 1-56898-249-6. ↑ (en) Jay Hambidge (1967). The Elements of Dynamic Symmetry. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-21776-0. ↑ (en) Julian D. A. Wiseman,Sin and cos in surd ↑ (en) LeVeque, William Judson (1956). Topics in number theory. Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass.. ↑ a b (en) Khinchin, Aleksandr Yakovlevich (19641964). Continued Fractions. University of Chicago Press, Chicago and London. ↑ K. G. Ramanathan. On the Rogers-Ramanujan continued fraction. Indian Academy of Sciences. Proceedings. Mathematical Sciences 93 (2). ISSN: 0253-4142. DOI: 10.1007/BF02840651. ↑ Eric W. Weisstein, Ramanujan Continued Fractions. op MathWorld