Regel van Boole

In de numerieke wiskunde is de regel van Boole, genoemd naar de Engelse wiskundige George Boole, een kwadratuurformule voor het numeriek benaderen van een integraal. De regel is een vorm van de formule van Newton-Cotes voor vijf equidistante steunpunten.

De vijf steunpunten ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{5}}$ verdelen het integratie-interval ${\displaystyle [a,b]}$ in vier delen ter grootte

${\displaystyle h={\tfrac {1}{4}}(b-a)}$

De steunpunten zijn

${\displaystyle x_{i}=a+(i-1)h}$,

dus met ingesloten eindpunten ${\displaystyle x_{1}=a,x_{5}=b}$

De benadering volgens de regel van Boole is:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{90}}(7f(x_{1})+32f(x_{2})+12f(x_{3})+32f(x_{4})+7f(x_{5}))}$

De fout in deze benadering is

${\displaystyle -\,{\frac {8}{945}}h^{7}f^{(6)}(c)}$

waarin ${\displaystyle a<c<b}$ en ${\displaystyle {\frac {8}{945}}={\frac {2^{7}4!}{9!}}.}$

Trivia

De regel wordt vaak regel van Bode genoemd, als gevolg van een lees/typefout (${\displaystyle {\text{Boo}}\!{\text{le}}}$) die afkomstig is uit Abramowitz and Stegun (1972, p. 886).

Zie ook

• Regel van Simpson
• Methode van Romberg

Referenties

• Weisstein, Eric W. "Boole's Rule", MathWorld
• Zucker, Ruth (1983) [juni 1964], hoofdstuk 25.4.14: Numerical Interpolation, Differentiation, and Integration - Integration - Numerical Analysis, in: Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Applied Mathematics Series. 55 (ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (december 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 886. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.