Oplosbare groep

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, heet een groep oplosbaar, als zij geconstrueerd kan worden met behulp van een eindige rij uitbreidingen van abelse groepen.

Definitie

Een groep ${\displaystyle G}$ heet oplosbaar als ${\displaystyle G}$ een rij normaaldelers heeft, waarvan de factorgroepen alle commutatief zijn, dat wil zeggen dat er ondergroepen

${\displaystyle \{1\}=G_{0}\subset G_{1}\subset \ldots \subset G_{k}=G}$

zijn, zodanig dat ${\displaystyle G_{j-1}}$ normaaldeler is in ${\displaystyle G_{j}}$ en de factorgroepen ${\displaystyle G_{j}/G_{j-1}}$ commutatief zijn.

Equivalent kan gedefinieerd worden dat de groep ${\displaystyle G}$ oplosbaar heet als de rij afgeleide groepen, de afnemende rij normaaldelers (${\displaystyle \triangleleft }$ betekent "is normaaldeler van")

${\displaystyle G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright \ldots ,}$

waarin iedere ondergroep de commutatorgroep van de vorige is, uiteindelijk de triviale groep {1} van ${\displaystyle G}$ bereikt.

Deze twee definities zijn gelijkwaardig, aangezien voor elke groep ${\displaystyle H}$ en iedere normaaldeler ${\displaystyle N}$ van ${\displaystyle H}$, het quotiënt ${\displaystyle H/N}$ dan en slechts dan commutatief is als ${\displaystyle H^{(1)}}$ deel uitmaakt van ${\displaystyle N}$. De kleinste ${\displaystyle n}$ zodanig dat ${\displaystyle G^{(n)}=\{1\}}$ wordt de afgeleide lengte van de oplosbare groep ${\displaystyle G}$ genoemd.

Voorbeelden

Alle abelse groepen zijn oplosbaar; het quotiënt ${\displaystyle A/B}$ zal altijd abels zijn als ${\displaystyle A}$ abels is. Te bepalen dat een groep oplosbaar is, heeft dus alleen nut voor niet-commutatieve groepen.

Meer in het algemeen geldt dat alle nilpotente groepen oplosbaar zijn. In het bijzonder zijn de eindige ${\displaystyle p}$-groepen oplosbaar, aangezien alle eindige ${\displaystyle p}$-groepen nilpotent zijn.

Een klein voorbeeld van een oplosbare, niet-nilpotente groep is de symmetrische groep ${\displaystyle S_{3}}$. Ook de symmetrische groep ${\displaystyle S_{4}}$ is oplosbaar. Aangezien de kleinste enkelvoudige niet-abelse groep ${\displaystyle A_{5}}$ (de alternerende groep van graad 5) is, volgt hieruit dat elke groep met een orde van minder dan 60 oplosbaar is.