Cilindercoördinaten

Een punt P in Cilindercoördinaten

Cilindercoördinaten vormen een driedimensionaal coördinatenstelsel, gelijkend op het tweedimensionale stelsel van poolcoördinaten. Naar analogie met poolcoördinaten vormen van een punt P = ( x , y , z ) {\displaystyle P=(x,y,z)} de afstand r {\displaystyle r} tot de z-as en de hoek θ {\displaystyle \theta } tussen de projectie van O P {\displaystyle OP} op het xy-vlak en de positieve x-as de eerste twee coördinaten. De derde coördinaat wordt gegeven door z {\displaystyle z} .

Het verband met de cartesische coördinaten x {\displaystyle x} en y {\displaystyle y} wordt gegeven door:

x = r cos ⁡ ( θ ) {\displaystyle x=r\,\cos(\theta )}
y = r sin ⁡ ( θ ) {\displaystyle y=r\,\sin(\theta )}

De z {\displaystyle z} -coördinaat is dezelfde in beide stelsels.

Om verwarring van de hier gebruikte r {\displaystyle r} en die bij bolcoördinaten te voorkomen wordt bij cilindercoördinaten ook wel ρ {\displaystyle \rho } gebruikt.

Het gebruik van cilindercoördinaten is, net als bij poolcoördinaten, handig als er bij een object sprake is van symmetrie rond een as, bijvoorbeeld een cilinder.

Jacobiaan

De jacobiaan van de transformatie is:

J = ∂ ( r , θ , z ) ∂ ( x , y , z ) = [ x r y r 0 − y r 2 x r 2 0 0 0 1 ] = [ cos ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( θ ) 0 − 1 r sin ⁡ ( θ ) 1 r cos ⁡ ( θ ) 0 0 0 1 ] {\displaystyle J={\frac {\partial (r,\theta ,z)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{bmatrix}{\frac {x}{r}}&{\frac {y}{r}}&0\\{\frac {-y}{r^{2}}}&{\frac {x}{r^{2}}}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )&0\\-{\frac {1}{r}}\sin(\theta )&{\frac {1}{r}}\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}

Omgekeerd:

∂ ( x , y , z ) ∂ ( r , θ , z ) = [ cos ⁡ ( θ ) − r sin ⁡ ( θ ) 0 sin ⁡ ( θ ) r cos ⁡ ( θ ) 0 0 0 1 ] = [ x r − y 0 y r x 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,z)}}={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-r\sin(\theta )&0\\\sin(\theta )&r\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {x}{r}}&-y&0\\{\frac {y}{r}}&x&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}

Vectorveld

Het is gebruikelijk een vectorveld

F ( x , y , z ) = ( F x ( x , y , z ) , F y ( x , y , z ) , F z ( x , y , z ) ) {\displaystyle F(x,y,z)=(F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z))}

in poolcoördinaten te ontbinden in een component F r {\displaystyle F_{r}} langs de poolstraal in het x y {\displaystyle xy} -vlak, een component F θ {\displaystyle F_{\theta }} loodrecht daarop in de richting van de hoek θ {\displaystyle \theta } en als derde component F z {\displaystyle F_{z}} . Voor deze componenten geldt:

F r =   F x cos ⁡ ( θ ) + F y sin ⁡ ( θ ) {\displaystyle F_{r}=\ F_{x}\cos(\theta )+F_{y}\sin(\theta )}
F θ = − F x sin ⁡ ( θ ) + F y cos ⁡ ( θ ) {\displaystyle F_{\theta }=-F_{x}\sin(\theta )+F_{y}\cos(\theta )}

Omgekeerd:

F x = F r cos ⁡ ( θ ) − F θ sin ⁡ ( θ ) {\displaystyle F_{x}=F_{r}\cos(\theta )-F_{\theta }\sin(\theta )}
F y = F r sin ⁡ ( θ ) + F θ cos ⁡ ( θ ) {\displaystyle F_{y}=F_{r}\sin(\theta )+F_{\theta }\cos(\theta )}

Zie ook