遷移行列

遷移行列（T行列）は散乱理論において遷移振幅を与える行列である。

遷移行列は散乱振幅と深いつながりがある。

定義

散乱理論ではしばしば、シュレディンガー方程式を以下の積分方程式（リップマン-シュウィンガー方程式）に書き換えて問題を解く。

| ψ ± ⟩ = | ϕ ⟩ + G 0 ± ^ V ^ | ψ ± ⟩ {\displaystyle |\psi ^{\pm }\rangle =|\phi \rangle +{\hat {G_{0}^{\pm }}}{\hat {V}}|\psi ^{\pm }\rangle \,}

ここで | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } は入射状態、 | ψ ± ⟩   {\displaystyle |\psi ^{\pm }\rangle \ } は散乱状態（+は外向き、-は内向きを表す）、 V ^ {\displaystyle {\hat {V}}} は散乱体との相互作用を表す演算子、 G 0 ± ^ {\displaystyle {\hat {G_{0}^{\pm }}}} は相互作用が無い状態のグリーン演算子である。

遷移演算子 T ^ {\displaystyle {\hat {T}}} は、次のように入射状態 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } と散乱状態 | ψ ± ⟩   {\displaystyle |\psi ^{\pm }\rangle \ } を結びつける演算子 T ^ {\displaystyle {\hat {T}}} として定義される。

T ^ | ϕ ⟩ = V ^ | ψ ± ⟩ {\displaystyle {\hat {T}}|\phi \rangle ={\hat {V}}|\psi ^{\pm }\rangle }

よって遷移演算子を用いるとリップマン-シュウィンガー方程式は以下のように書き換えられる。

| ψ ± ⟩ = | ϕ ⟩ + G 0 ± ^ T ^ | ϕ ⟩ {\displaystyle |\psi ^{\pm }\rangle =|\phi \rangle +{\hat {G_{0}^{\pm }}}{\hat {T}}|\phi \rangle \,}

これはもはや積分方程式ではなく、右辺で未知なものは遷移演算子のみである。つまりリップマン-シュウィンガー方程式を解く代わりに遷移演算子 T ^ {\displaystyle {\hat {T}}} を求めることで散乱状態が求められることになる。

遷移演算子を、相互作用領域への入射状態 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } と散乱状態 | ψ ± ⟩ {\displaystyle |\psi ^{\pm }\rangle } を用いて行列表示したものを遷移行列 T   {\displaystyle T\ } という。 よって行列要素は ⟨ ψ ± | T ^ | ϕ ⟩ {\displaystyle \langle \psi ^{\pm }|{\hat {T}}|\phi \rangle } となる。

性質

リップマン-シュウィンガー方程式と遷移演算子の定義より以下の関係が得られる。

T ^ = V ^ + V ^ G 0 ± ^ T ^ {\displaystyle {\hat {T}}={\hat {V}}+{\hat {V}}{\hat {G_{0}^{\pm }}}{\hat {T}}}

これは以下のように表すこともできる。

T ^ = V ^ + V ^ G 0 ± ^ V ^ + V ^ G 0 ± ^ V ^ G 0 ± ^ V ^ + ⋯ {\displaystyle {\hat {T}}={\hat {V}}+{\hat {V}}{\hat {G_{0}^{\pm }}}{\hat {V}}+{\hat {V}}{\hat {G_{0}^{\pm }}}{\hat {V}}{\hat {G_{0}^{\pm }}}{\hat {V}}+\cdots }

このような遷移演算子についての級数を、途中で打ち切ることをボルン近似という。たとえば1次のボルン近似では T ^ = V ^ {\displaystyle {\hat {T}}={\hat {V}}} と近似する。

参考文献

  • 小泉義晴『工学者のための量子物理学とグリーン関数　講義・演習ノート』現代工学社、1987年。ISBN 4874721303。 

関連項目