根二乗平均速度

根二乗平均速度（こんにじょうへいきんそくど、英: root-mean-square speed）とは、速度の絶対値の二乗平均平方根、すなわち速度の大きさの二乗 v ² の統計集団平均 ${\displaystyle \langle v^{2}\rangle }$ の平方根 ${\displaystyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}}$ である。 ここで速度 v の大きさ v は v の内積によって定められる。

${\displaystyle v=|{\boldsymbol {v}}|:={\sqrt {{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {v}}}}\,.}$

根二乗平均速度は気体分子運動論などの議論において現れる。

速度の分散 ${\displaystyle |\sigma ({\boldsymbol {v}})|^{2}}$ は速度の平均 ${\displaystyle \langle {\boldsymbol {v}}\rangle }$ と速度の二乗平均 ${\displaystyle \langle v^{2}\rangle }$ を用いて以下のように書き表すことができる。

${\displaystyle |\sigma ({\boldsymbol {v}})|^{2}=\langle v^{2}\rangle -\langle {\boldsymbol {v}}\rangle \cdot \langle {\boldsymbol {v}}\rangle \,.}$

もしも速度の平均 ${\displaystyle \langle {\boldsymbol {v}}\rangle }$ が 0 ならば、二乗平均 ${\displaystyle \langle v^{2}\rangle }$ は分散と一致する。 このとき根二乗平均速度 ${\displaystyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}}$ は速度のゆらぎの大きさ ${\displaystyle |\sigma ({\boldsymbol {v}})|}$ に等しい。

${\displaystyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}=|\sigma ({\boldsymbol {v}})|\quad (\langle {\boldsymbol {v}}\rangle ={\boldsymbol {0}}).}$

従って根二乗平均速度から、巨視的な流れがないような系において、熱的なゆらぎに起因する速度の大きさを評価することができる。

例

気体分子運動論

気体分子運動論における、単原子分子の二乗平均速度は次のように表される。

${\displaystyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}\,.}$

ここで、R ≈ 8.314 J/(K · mol) は気体定数、T は熱力学温度、M は分子量である。 ボルツマン定数 k _B ≈ 1.381 × 10^-23 J/K とアヴォガドロ定数 N _A ≈ 6.022 × 10²³ /mol, および分子質量 m を用いると、ボルツマン定数と分子量の定義より、

${\displaystyle R=k_{\mathrm {B} }N_{\mathrm {A} },\quad M=mN_{\mathrm {A} }}$

という関係が成り立つので、以下のように書き直される。

${\displaystyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3k_{\mathrm {B} }T}{m}}}\,.}$

この関係から直ちに、1 単原子分子が持つ平均の運動エネルギーは温度に比例することが分かる。

${\displaystyle \langle {\frac {1}{2}}mv^{2}\rangle ={\frac {3}{2}}k_{\mathrm {B} }T\,.}$

導出

単原子分子の理想気体の内部エネルギー U (T ) は以下の関係を満たす。

${\displaystyle U(T)={3 \over 2}nRT\,.~~\cdots ~~(1)}$

ここで n は系のモル数である。これをボルツマン定数 k _B と気体分子の個数 N を用いて書き直せば、n = N/N _A なので、

${\displaystyle U(T)={3 \over 2}Nk_{\mathrm {B} }T~~\cdots ~~(2)}$

となる。理想気体の持つエネルギーは気体分子の持つエネルギーの総和に等しく、気体分子の持つエネルギーは運動エネルギーのみなので、次の関係を満たす。

${\displaystyle U(T)=N\langle {\frac {1}{2}}mv^{2}\rangle \,.~~\cdots ~~(3)}$

(2), (3) の右辺同士を比較すれば、

${\displaystyle N\langle {\frac {1}{2}}mv^{2}\rangle ={3 \over 2}Nk_{\mathrm {B} }T}$

より、根二乗平均速度と温度の関係式が得られる。

${\displaystyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3k_{\mathrm {B} }T}{m}}}\,.~~\cdots ~~(4)}$

脚注

注釈

出典

関連項目

• 統計力学
• 気体分子運動論
• 理想気体
• 理想気体の状態方程式
• マクスウェル分布
• ボルツマン分布
• 二乗平均平方根