有限体積法

微分方程式
ナビエ–ストークス方程式。障害物の周囲の気流のシミュレーションに用いられる。
ナビエ–ストークス方程式。障害物の周囲の気流のシミュレーションに用いられる。
分類
タイプ
変数のタイプにより
  • 独立変数と従属変数（英語版）
特徴
過程との関係
  • 差分 (離散類似)
  • 確率
    • 確率偏（英語版）
  • 遅延（英語版）
解
一般的な話題
  • 表
  • 話
  • 編
  • 歴
計算物理学

数値解析 · シミュレーション（英語版）

データ解析 · 可視化（英語版）
偏微分方程式の数値解法

有限差分法 · 有限体積法
有限要素法 · 境界要素法
格子ボルツマン法 · リーマン解法（英語版）
散逸粒子動力学（英語版）
SPH法

乱流モデル
研究者
ゴドゥノフ（英語版） · ウラム
フォン・ノイマン · ガラーキン（英語版）
ローレンツ
  • 表
  • 話
  • 編
  • 歴

有限体積法（ゆうげんたいせきほう、英語: finite volume method、FVM）とは、数値解析手法の一つである。領域を有限個のコントロールボリューム（control volume）に分割し、各ボリュームに対して積分形の物理量の保存方程式を適用するものである[1][2][3]。

1960年代にロスアラモス国立研究所において非構造格子（英語版）に基づく流体解析手法として開発され[2][3]、現在では、多くの商用の流体解析コードに標準的な離散化解析手法として採用されている[2][3][4]。

概要

有限差分法と有限要素法の両方の特徴を合わせ持つ手法と言える[4][5]。

解析領域をセル（cell）と呼ばれる小領域に分割し、セルの格子点を中心とする領域であるコントロールボリュームあるいは検査領域De を定義する。そして、有限要素法と同様にその離散化には重み付き残差法[6]を適用する。ただし有限体積法では、コントロールボリュームDe ごとに、重み関数を 1 として重み付き残差式を離散化する。

∫ D e u ∗ f ( u ) d Ω = ∫ D e f ( u ) d Ω = 0 {\displaystyle \int _{D_{e}}u^{*}f(u)d\Omega =\int _{D_{e}}f(u)d\Omega =0}
長所
  • 保存方程式をコントロールボリュームで積分するので、この積分領域内の物理量の保存が満足される。コントロールボリュームが重ならないかぎり、領域全体での保存性も満足される。
  • 非構造格子など、どのようなタイプの計算格子にも適用できるため、任意形状への適合性が良い[1]。
  • 上式における積分中の微分の近似には中点公式（または中点差分近似[7]）
d f d x ≃ f ( x + h ) − f ( x − h ) 2 h ( h << 1 ) {\displaystyle {\frac {df}{dx}}\simeq {\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}\quad (h<<1)}
が一般に用いられるため、離散化が簡便で有限要素法に比べて計算時間の面で有利である[7]。なお、微分の近似表現に中点公式などを用いているため、構造格子を用いた場合には、離散化された代数方程式は有限差分法を適用して導かれたそれと一致することがある[4]。
短所
  • 高次精度化が煩雑あるいは困難である[1][2][3]。有限体積法は3段階の近似（補間、微分、積分）を必要とするために、3次元で2次精度よりも高い精度の方法を実現することが難しい[1][2][3]。

参考文献

  • Eymard, R. Gallouët, T. R. Herbin, R. (2000) The finite volume method, in Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713–1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.
  • LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, en:Cambridge University Press.

脚注

  1. ^ a b c d Joel H. Ferziger; Milovan Perić 著、小林敏雄、谷口伸行、坪倉誠 訳『コンピュータによる流体力学』シュプリンガー・フェアラーク東京、2003年、36-37頁。ISBN 4-431-70842-1。 
  2. ^ a b c d e Versteeg, H. K., & Malalasekera, W. (2007). An introduction to computational fluid dynamics: the finite volume method. Pearson education.
  3. ^ a b c d e Moukalled, F., Mangani, L., & Darwish, M. (2016). The finite volume method in computational fluid dynamics (Vol. 113). Berlin, Germany:: Springer.
  4. ^ a b c 土木学会 応用力学委員会 計算力学小委員会 編『いまさら聞けない計算力学の常識』丸善、2008年、9-10頁。ISBN 978-4-621-08022-1。 
  5. ^ Idelsohn, S. R., & Onate, E. (1994). Finite volumes and finite elements: two ‘good friends’. International journal for numerical methods in engineering, 37(19), 3323-3341.
  6. ^ Finlayson, B. A., & Scriven, L. E. (1966). The method of weighted residuals—a review. Appl. Mech. Rev, 19(9), 735-748.
  7. ^ a b 山本哲朗『数値解析入門』サイエンス社〈サイエンスライブラリ 現代数学への入門 14〉、2003年6月、増訂版
  • 表
  • 話
  • 編
  • 歴
有限差分法
放物型偏微分方程式
  • FTCSスキーム（英語版）
  • クランク・ニコルソン法（英語版）
双曲型偏微分方程式
  • ラックス・フリードリヒ法（英語版）
  • ラックス・ウェンドロフ法（英語版）
  • マコマック法（英語版）
  • 風上スキーム（英語版）
  • 特性曲線法
その他
有限体積法
  • ゴドノフスキーム（英語版）
  • 高分解能スキーム（英語版）
  • 保存法則用単調性上流中心差分スキーム（英語版）
  • 移流上流分離法（英語版）
  • リーマン解法（英語版）
有限要素法
  • hp-FEM（英語版）
  • 拡張型有限要素法（英語版） (XFEM)
  • 不連続ガラーキン法（英語版） (DG)
  • スペクトル要素法（英語版） (SEM)
  • モルタル有限要素法（英語版）
メッシュフリー法・粒子法
  • SPH法
  • MPS法（英語版）
  • MPM法（英語版）
領域分割法
  • シューア補元法（英語版）
  • 仮想領域法（英語版）
  • シュヴァルツ交代法（加法シュヴァルツ法（英語版）・抽象加法シュヴァルツ法（英語版））
  • ノイマン・ディレクレ法（英語版）
  • ノイマン・ノイマン法（英語版）
  • ポアンカレ・ステクロフ法（英語版）
  • バランシング領域分割法（英語版） (BDD)
  • BDDC法（英語版）
  • FETI法（英語版）
  • FETI-DP法（英語版）
その他
スタブアイコン

この項目は、応用数学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています。

  • 表示
  • 編集
スタブアイコン

この項目は、物理学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:物理学／Portal:物理学）。

  • 表示
  • 編集