曲率形式

微分幾何学では、曲率形式(curvature form)は、主バンドル上の接続形式の曲率を記述する。リーマン幾何学では、曲率形式は、リーマン曲率テンソルの代行物か一般化と考えることができる。

定義

G をリー代数 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ をもつリー群とし、P → B を主 G-バンドルとする。P 上のエーレスマン接続(Ehresmann connection)を ω とする。（エーレスマン接続は、P 上の ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ に値を持つ 1-形式である。）

すると、曲率形式は P 上の ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ に値を持つ 2-形式であり、

${\displaystyle \Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega ,\omega ]=D\omega }$

により定義される。

ここで、${\displaystyle d}$ は外微分を表し、${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ は ${\displaystyle [\alpha \otimes X,\beta \otimes Y]:=\alpha \wedge \beta \otimes [X,Y]_{\mathfrak {g}}}$ により定義され、D は共変外微分（英語版）(exterior covariant derivative)である。別な表現をすると、

${\displaystyle \,\Omega (X,Y)=d\omega (X,Y)+[\omega (X),\omega (Y)]}$

である。

ベクトルバンドルの曲率形式

E → B をベクトルバンドルとすると、ω を 1-形式の行列とも考えることができるので、上の式は構造方程式

${\displaystyle \,\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega }$

となる。ここに ${\displaystyle \wedge }$ はウェッジ積とする。さらに詳しくは、${\displaystyle \omega _{\ j}^{i}}$ と ${\displaystyle \Omega _{\ j}^{i}}$ で、それぞれ ω と Ω の成分を表すとすると（各々の ${\displaystyle \omega _{\ j}^{i}}$ は通常の 1-形式で、各々の ${\displaystyle \Omega _{\ j}^{i}}$ は通常の 2-形式である）、

${\displaystyle \Omega _{\ j}^{i}=d\omega _{\ j}^{i}+\sum _{k}\omega _{\ k}^{i}\wedge \omega _{\ j}^{k}}$

となる。

例えば、リーマン多様体の接バンドルに対して、構造群は O(n) であり、Ω は O(n) のリー代数に値をもつ 2-形式であり、反対称行列である。この場合には、曲率形式 Ω は曲率テンソルで記述すると、 ${\displaystyle \,R(X,Y)=\Omega (X,Y),}$ となる。

ビアンキ恒等式

${\displaystyle \theta }$ が標構バンドル上のベクトルに値を持つ標準 1-形式であれば、接続形式 ${\displaystyle \omega }$ のトーション ${\displaystyle \Theta }$ は、ベクトルに値を持つ 2-形式で、次の構造方程式によって定義される。

${\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta =D\theta .}$

ここに、上記のように、D は共変外微分（英語版）(exterior covariant derivative)である。

第一ビアンキ恒等式は、

${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta }$

であり、第二ビアンキ恒等式は、

${\displaystyle \,D\Omega =0}$

で、より一般的な主バンドルのに任意の接続に対して有効である。

参考文献

• Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu (1963) Foundations of Differential Geometry, Vol.I, Chapter 2.5 Curvature form and structure equation, p 75, Wiley Interscience.

関連項目

• 接続 (主バンドル)
• 曲がった時空の数学への入門（英語版）
• チャーン・サイモンズ形式
• リーマン多様体の曲率（英語版）
• ゲージ理論

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