フォノン

フォノン（英: phonon）、音子、音響量子、音量子は、結晶中における格子振動の量子（準粒子）である。

格子振動を、音波などの弾性波が伝搬する連続的な媒質（弾性体）中の場だと考え、場の量子論を応用することにより考案された^[1]。

概要

場の量子論を結晶格子に応用し、結晶中の振動を量子化したものがフォノンである。フォノンは、光子と同様に生成や消滅をすることができ、質量は存在しない。一般的な量子力学のように粒子数が固定された系の波動関数でフォノンを記述することは難しい。

振幅が大きくなる、つまり振動が激しくなることはフォノンの数が増えることで表される。

1次元の格子振動の量子化

1次元の量子的な調和振動子はN個の同種原子から成る。 これはフォノンを考える上で、最も簡単な量子的モデルである。 このモデルは直ちに2次元、3次元に一般化することができる。

質点の位置は平衡位置からのずれx₁, x₂…として記述される。 （すなわちx_i = 0は、粒子iが平衡位置にあることを意味する) 2次元以上の場合では x_iはベクトル量となる。 この系のハミルトニアンは次のように書ける。

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}}$

ここでmは各原子の質量（ここでは全ての原子で等しいと仮定する）、 x_i とp_iはそれぞれi番目の原子の位置演算子と運動量演算子であり、和は最近接において行う。 しかし格子は、粒子のようにふるまう波動としての側面も現れる。 慣習として、変数として粒子の座標の代わりに、基準モードの波数ベクトルを用いたフーリエ空間における波を扱う。 基準モードの数は、粒子数と等しい。 しかし、フーリエ空間は系の周期性を考える上で非常に有用である。

x_kの離散フーリエ変換として定義されるN個の基準座標Q_k、p_kのフーリエ変換として定義されるN個の共役運動量Π_kを導入する。

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}\\\Pi _{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}.\end{aligned}}}$

k_n はフォノンの波数であり、すなわち2πを波長で割ったものである。

これらは実空間もしくは波数空間における次の交換関係を満たす。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[x_{l},p_{m}\right]&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]&={\frac {1}{N}}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}\left[x_{l},p_{m}\right]\\&={\frac {i\hbar }{N}}\sum _{l}e^{ial\left(k-k'\right)}=i\hbar \delta _{k,k'}\\\left[Q_{k},Q_{k'}\right]&=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0\end{aligned}}}$

一般的な結果から、

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\sum _{kk'}Q_{k}Q_{k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}\end{aligned}}}$

位置エネルギー項は

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{j}\left(x_{j}-x_{j+1}\right)^{2}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={\tfrac {1}{2}}\sum _{k}m{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}}$

ここで

${\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}\left(1-\cos {ka}\right)}}=2\omega \left|\sin {\frac {ka}{2}}\right|}$

ハミルトニアンは波数空間において次のように書ける

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\left(\Pi _{k}\Pi _{-k}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)}$

位置変数の間のカップリングは解きほぐされる。Q とΠがエルミートであれば（これらはそうではない）、変換されたハミルトニアンはN個の独立な調和振動子を記述する。

量子化されたあとの形は境界条件に依存する。 簡単のため周期的境界条件が課すと、(N + 1)番目の原子は1番目の原子と同等になる。 これは物理的には原子鎖の始まりと終わりを繋ぎ合わせることに相当する。 この結果の量子化は次のように書ける。

${\displaystyle k=k_{n}={\frac {2\pi n}{Na}}\quad {\mbox{for }}n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm {\frac {N}{2}}.\ }$

nの上限は波長の最小値から求められ、格子面間隔aの2倍となる。

調和振動子の固有値、またはモードω_kのエネルギー準位は次のように書ける。

${\displaystyle E_{n}=\left({\tfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots }$

このエネルギー準位は等間隔であり、それぞれ次のようになる。

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots }$

ここで1/2ħωは量子的な調和振動子の零点エネルギーである。

次のエネルギー準位に押し上げるためには、正確にエネルギーħωだけが調和振動子の格子に供給されなければならない。 電磁場が量子化されたときのフォトン（光子）との比較から、振動エネルギーの量子はフォノンと呼ばれる。

全ての量子系は波動性と粒子性を同時に示す。 フォノンの粒子性は第二量子化と生成消滅演算子によって理解される。 ^[2]

特徴

エネルギー

フォノンの持つエネルギーは格子の熱振動のエネルギーである。調和振動だと見なせる場合は、次のように調和振動子のエネルギーの式と同じ形になる。

${\displaystyle \hbar }$ はプランク定数、${\displaystyle \omega _{k}}$ は振動数、${\displaystyle n}$ はフォノンの数である。和を波数 ${\displaystyle k}$ について取る。

フォノン間に相互作用がある場合は、エネルギー準位が等間隔である調和振動子とは見なせないので、このような単純な形にならない。

運動量

フォノンは振動そのものを量子化したものであり、質量を持たない。一方で運動量は持っており${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$で表される。ただしフォノンの運動量は、一様な空間にある粒子の運動量とは性質が異なる。ネーターの定理によると運動量は系の並進対称性から導出されるため、この違いは並進対称性の違いに由来する。一様な空間は連続的な並進対称性を持つが、結晶では離散的な並進対称性を持っている。この離散的な並進対称性から導かれる（広義の）運動量は、通常の運動量とは区別して結晶運動量と呼ばれる。この違いにより、たとえば運動量保存則は、フォノンの運動量だけでなく結晶の逆格子ベクトルも含まれた形となる。

フォノンによる弾性的中性子散乱では、エネルギーとともに運動量も保存される。非弾性中性子散乱では中性子の入射角と散乱角、およびエネルギー変化を調べることでフォノンの波数と各周波数が求まる。^[1]

ボース粒子

フォノンはひとつの状態 ${\displaystyle k}$ に何個でも存在できる。よってフォノンはボース粒子であり、ボース゠アインシュタイン統計に従う。

分類

音響フォノンと光学フォノン

フォノンは、音響フォノンと光学フォノンの2つに大別できる。音響フォノンは、隣のフォノンと同じ位相で振動するが、光学フォノンは逆の位相で振動する。また音響フォノンも光学フォノンも電子励起などを介して光と間接的に相互作用する^[3]。光学フォノンは双極子モーメントの変化を伴うため、光との相互作用によって直接励起される（光学的に活性である）^[4]。音響フォノンは自身は分極を伴わないため、基本的に光学応答に対して直接寄与はしない^[3]。音響フォノンによる光散乱をブリルアン散乱と呼び、光学フォノンによる光散乱をラマン散乱と呼ぶ。

横型フォノンと縦型フォノン

フォノンの波数ベクトル（伝播方向）と同じ方向に格子振動する縦波と、垂直に格子振動する横波という2つのモードがある。

• 音響フォノンでは、縦型フォノンは物質の圧縮や膨張に、横型フォノンは物質のずれに相当し、一般的には前者の復元力のほうが大きい。よって音響フォノンでは一般的に縦型フォノンのほうが伝播速度(群速度)が大きい^[3]。
• 光学フォノンにおいては、縦型フォノンにより電荷が空間的に偏り(分極Pが電荷密度ρ＝－∇・Pの変化を伴う)、分極による反電場の効果として縦型フォノンのほうが一般的に高い角振動数を持つ^[3]。

分散関係と周期性

${\displaystyle k=0}$のとき${\displaystyle \omega (k)=0}$となる分散曲線は音響フォノンによるものである。音響フォノンの分散曲線の傾き${\displaystyle v={\frac {d\omega (k)}{dk}}}$はフォノンの伝搬する群速度である。音響フォノンの分散曲線は${\displaystyle k=0}$近傍では${\displaystyle k}$に比例する、つまり一定の群速度となる。これは、音速が波長に比例するという弾性波のもつ性質を表す。

一方で、${\displaystyle k=0}$のとき${\displaystyle \omega (k)\neq 0}$となる分散曲線は光学フォノンによるものである。

状態密度

フォノンの状態密度は、フォノン数を第一ブリュアンゾーンで積分したものである。実験的には、非弾性中性子散乱で求まる。比熱などは、フォノンの状態密度によって決まる（デバイ模型）。

フォノンバンド

結晶格子のような周期構造中では、フォノンの振動数は制限され離散的になる。又、量子力学の効果で電子の場合と同様に、フォノンもバンド構造（フォノンバンド）を作る。

フォノンのソフト化

物質によっては、温度を下げるとフォノン（格子振動）の振幅が小さくなっていって、ある転移温度以下で低温相へ相転移し、フォノンによる格子の変位が凍結した状態となることがある。

これをフォノンのソフト化と言う。

厳密には、格子振動とフォノンは同義ではないが、同じような意味合いで使われることがある。

熱伝導

フォノンによる熱伝導は、フォノンが音速${\displaystyle v}$で飛びまわるとして気体分子運動論を適用したモデルで記述できる^[1]。熱伝導率${\displaystyle k}$は、比熱${\displaystyle C}$とフォノンの平均自由行程${\displaystyle l}$で表される。

${\displaystyle k={\frac {Cvl}{3}}}$

フォノンの平均自由行程は一般的に温度の関数であり、フォノン散乱についての情報を含んでいる。

フォノンの非調和性

摂動論とフォノン間相互作用

格子の位置エネルギーは各原子の平衡位置からの変位についてベキ展開できる。

もし2次の項までとれば、格子振動が調和振動と見なすことができ、フォノン間に相互作用はない。

3次および4次の項が比較的小さく摂動とみなせる場合は、これらを調和フォノンの生成消滅演算子を用いて表すことができる。 非調和振動の影響が大きくなると、3次および4次の項によってフォノン間に相互作用が働き、フォノンの生成や消滅が起こる。 3次の項は3つの演算子の積で、1個のフォノンが2個のフォノンに崩壊するような過程を記述する。 4次の項は2個のフォノンの衝突や、1個のフォノンが2個のフォノンに崩壊する過程などの過程を記述する。^[6]

温度がデバイ温度よりはるかに高いときは、非調和性の効果が大きくなり、摂動論が適用できなくなる。よって調和近似で考えたフォノンは、素励起としての意味を失う^[7]。

自己無撞着フォノン法

固体ヘリウムのような量子固体では、原子間相互作用のポテンシャルエネルギーが極小値よりかなり大きい。よってポテンシャルの極小点のまわりに小さな振動をしているという調和近似の考えが適用することができない。しかし一方で、中性子非弾性散乱の実験を行うと、フォノンのピークが観測される。よって調和近似の枠を超えて、フォノンの概念を基礎づける必要がある。

自己無撞着フォノン法は、このような量子固体や非調和性の大きい古典的固体に対して有効な方法である。ポテンシャルを${\displaystyle V(x)}$、格子点を${\displaystyle x=0}$とすると、調和近似では力の定数はポテンシャルの二回微分${\displaystyle V''(0)}$で与えられる。一方で自己無撞着フォノン法において力の定数は、(力の定数をパラメータとして含む)調和振動の状態関数${\displaystyle |0\rangle }$に関する${\displaystyle V''(x)}$の期待値で与えられる。^[7]

フォノンと光子の比較

共に質量のないボース粒子であるフォノンと光子の比較を以下に示す。^[8]

	フォノン	光子
基準振動の数	各${\displaystyle \mathbf {k} }$に対して3p個のモード（pは基本構造中の原子数） 分散関係は複雑：${\displaystyle \omega =\omega _{s}(\mathbf {k} )}$（sはモード）	各${\displaystyle \mathbf {k} }$に対して2個のモード 分散関係は直線：${\displaystyle \omega =ck}$（cは光速）
波数ベクトルの制限	${\displaystyle \mathbf {k} }$は第一ブリルアンゾーンに限られる	${\displaystyle \mathbf {k} }$は任意
熱エネルギー密度	${\displaystyle \sum _{s}\int {\frac {1}{(2\pi )^{3}}}{\frac {\hbar \omega _{s}(\mathbf {k} )}{e^{\beta \hbar \omega _{s}(\mathbf {k} )}-1}}d\mathbf {k} }$ (積分は第一ブリルアンゾーンについて)	${\displaystyle 2\int {\frac {1}{(2\pi )^{3}}}{\frac {\hbar ck}{e^{\beta \hbar ck}-1}}d\mathbf {k} }$ (積分はすべての${\displaystyle \mathbf {k} }$について)

光子の熱エネルギーの式は、デバイ近似のフォノンの式と似ているが、以下の点が異なる。

• 光子では、音速が光速で置き換えられている。
• 光子では、ただ2つだけのモードだけがある(電磁放射は横波でなければならない、縦波のモードは無い)ことに対応して、余分の因子2/3を持っている。
• 許される光子の波数ベクトルの最高値に制限がないため、光子における積分の上限は∞である。

フォノニクス

フォノンは光子や電子のように、多くの目的で粒子として扱えるので、実用的な応用に利用して操作することができる。フォノンスペクトルは低周波音響から超音波や熱まで広範囲に効果を及ぼすため、フォノニック技術は免震、音響学、熱管理などの広範囲にわたる応用が可能でフォノニック結晶、メタマテリアル、熱電素子、MOEMSなど、さまざまなスケールでフォノンを制御する方法がある^[9]。

参考文献

関連項目

• ゼロフォノン線とフォノンサイドバンド
• コヒーレントフォノン
• スピン-フォノン相互作用
• フォノン散乱
• フォノンバンド
• 表面フォノン
• DFPT法
• メーザー